定律是为实践和事实所证明，反映事物在一定条件下发展变化的客观规律的论断。定律的特点，是可证，而且已经被不断证明。定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。也就是说，定律一般情况下是被实践和事实证明，而不是数学的推导。牛顿运动定律与动量守恒定律是融会贯通的，是可以用数学的方法证明的，下面我们探索证明牛顿运动定律和动量守恒定律相互证明，以加深学生对牛顿运动定律和动量守恒定律的理解，并能熟练地、准确地应用牛顿运动定律和动量守恒定律。

一、证明牛顿第一、第三定律

1）证明牛顿第三定律

牛顿第三定律的描述：相互作用的两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上，数学表达式为F₁=-F₂。

我们设两个物体的初始状态：M₁V₁、M₂V₂，相互作用后状态为：M₁V₁₂、M₂V₂₂，这两个物体相互作用只受相互作用的内力（即作用力、反作用力），所以动量守恒，即M₁V₁+M₂V₂= M₁V₁₂+M₂V₂₂。V₁₂=V₁+a₁t、V₂₂=V₂+a₂t，M₁V₁+M₂V₂=M1（V₁+a₁t）+M₂(V₂+a₂t),化简得：M₁a₁t+M₂a₂t=0 因为相互作用的时间一定相等，并且动量守恒定律没有时间长短的限制，即M₁a₁+M₂a₂=0，根据牛顿第二定律F=am得：F1+F2=0，即F1=-F2，这样就从理论上证明了牛顿第三定律。

2）证明牛顿第一定律

牛顿第一运动定律：任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。

我们假M₀物体的运动状态为：M₀V₀，经过一段时间，M₀的速度，V₁=V₀+at，根据牛顿第二定律F=am，a=F/m，物体不受外力，即F=0，a必然为零，即a=0，V₁=V₀.特别指出：当V0=0时，物体处于静止状态。即任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。

二、证明动量守恒定律

一个系统不受外力或所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。

设有两个物体构成一个系统，相互作用前的状态是：M₁V₁、M₂V₂，相互作用后状态为：M₁V₁₂、M₂V₂₂，这两个物体相互作用只受相互作用的系统内力（即系统内的相互作用的作用力、反作用力，根据牛顿第三定律，我们知道：F1=-F2），设作用前系统总动量为：M₁V₁+ M₂V₂，作用后系统总动量M₁V₁₂+M₂V₂₂，我们计算作用后系统总动量：M₁V₁₂+M₂V₂₂，因为V₁₂=V₁+a₁t₁，V₂₂=V₁+V₂+a₂t₂，所以M₁V₁₂+ M₂V₂₂=M1（v₁+a₁t₁）+M2（V₂+a₂t₂）=（M₁V₁+M₂V₂）+（a₁t₁M₁+a₂t₂M₂）=（M₁V₁+M₂V₂）+（F₁t₁+F₂t₂），因为相互作用的时间一定相等，所以t₁=t₂，又因为F1=-F2，即F1+F2=0，所以F1t₁+F2t₂=0，即：M₁V₁₂+ M₂V₂₂= M₁V₁+ M₂V₂，这样就从理论上证明了动量守恒定律。

三、应用举例

假设有一炮弹质量6千克，以初速度200米/秒竖直上抛，经过10秒时炮弹沿水平方向爆炸成两部分，质量分别为m₁=2千克、m₂=4千克，测得m₁的水平速度是6米/秒（假设爆炸前、后质量不变，不计空气阻力，落地后水平速度为零，g取10米/秒²）。求：1、t=15秒时m₁和m₂在水平方向相距多少米？2、t₂=45秒m₁、m₂在水平方向相距多少米？

解析：这道题的考核点：动量守恒定律、加速度为重力加速度的匀变速运动。首先，在水平方向上炮弹不受外力，只有内力的作用，所以水平方向动量守恒，可以求出爆炸后m₂的水平速度。第二，爆炸后m₁、m₂背向运动，两者水平方向是匀速直线运动，相距的水平位移，应该等于两速度绝对值之和与时间的乘积，还必须注意，m1、m2是否落地，何时落地，落地后不再有水平速度，并且在落地前m₁、m₂始终都做匀速直线运动。具体解题过程：解：1、因为炮弹在爆炸时只受内力，所以动量守恒，由题意可知：爆炸前水平方向的动量为零，在水平方向上根据动量守恒定律得：m₁v₁+m₂v₂=0解得：v₂=-3米/秒，根据v_t=v₀-gt，v₀=200米/秒，令v_t=0，解得t=20秒，所以t=15秒炮弹还在上升阶段，因为15秒时是爆炸后的5秒，即t₁=5秒，所以m₁和m₂水平相距x1=（v₁+v₂）t₁=（6米/秒+3米/秒）×5秒=45米。2、分析炮弹落地的时间，由1分析可知：炮弹的上升时间是20秒，从最高点落地的时间也是20妙，所以t₃=40妙时m₁、m₂就落地了，此时是m₁、m₂相距的水平距离最大：x₂=（v₁+v₂）t3=（6米/妙+3米/妙）×30秒=270米。因为在40秒时落地，即爆炸后30秒落地，所以t₂=45秒m₁、m₂水平方向相距也是270米，而不是（6米/妙+3米/妙）×35秒=315米。

四、探索动量守恒定律和牛顿三定律的意义

我们探索用数学的方法对证明牛顿三定律和动量守恒定律相互证明，使学生真正理解动量守恒定律和牛顿运动定律的密切关系，以及动量守恒定律正确性和重要性。激发学生学习物理的兴趣，启迪学生科学探索的能力，特别是基础科学探索的能力。科学发现、探索或不需要高深的理论，强基是科学探索的重要途经，并且强基或是理论重大突破的必要条件，也是提高学习成绩的重要途径。熟能生巧，只有真正理解、掌握才能应用自如，才能有所突破。

动量守恒定律是高中物理守恒定律中最难应用、最难判断何时用的守恒定律。在宏观力学中，水平方向动量守恒的可能性最大，也最容易被学生忽视，必须引起学生的高度重视。动量守恒定律是适用范围最广泛的定律，不仅适用于宏观物体，也适用于微观物体，还经常应用在电磁学中，高考难题必然会涉及动量守恒定律。

说明：若相互作用的力为变力，牛顿第二定律可以写成：F=m*(dv/dt)，上述证明论述依然成立。即任何足够小的时间段都成立，那么在整个时间段也成立，也就是研究高中物理的重要方法之一——微元法。

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