辛几何

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中文名

辛几何

外文名

symplectic geometry

学    科

数学

研    究

辛流形的几何与拓扑性质

基本简介

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设M是一个2n维微分流形，称一个二次微分形式ω叫做M上的一个辛结构（symplectic structure）或辛形式，如果ω满足

我们称（M，ω）为一个辛流形。简单的说，辛几何就是研究辛流形的性质的一种几何，一般认为属于微分几何的范畴。^[1] 

辛流形的例子

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紧的微分流形存在辛结构的一个阻碍是可定向和第二个上同调群的秩非零。

凯勒流形

主条目：凯勒流形

一大类紧的辛流形来源于复代数几何，譬如，n维复射影空间都存在一个标准的辛形式（称为Fubini-Study形式）；Fubini-Study形式限制在任何光滑的复射影簇上都是一个辛形式。更一般的，任何Kaehler流形都是辛流形。

余切丛

参见：向量丛

任何微分流形的余切丛上都有一个典则的辛形式。这是一大类非紧的辛流形。事实上余切丛可以看作经典力学的相空间，而一般的辛流形则是它的推广。^[2] 

辛几何的历史

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达布定理和Weinstein定理

达布定理是辛几何中第一个重要的定理。它断言辛流形上任意一个点附近存在一个局部坐标系，使得辛形式在这组坐标系下是欧式空间的标准的辛形式。这样的坐标系被称为达布坐标系。这说明不同于黎曼几何，辛几何中并没有曲率这样的局部概念，而辛流形的所有性质应该都是整体的。

类比于达布定理，Alan Weinstein证明，任何嵌入的拉格朗日子流形L都有一个管状邻域，使得辛形式在这个邻域的限制等价于L的余切丛上的典则的辛形式。这样的邻域被称为Weinstein邻域。^[1] 

拟全纯曲线

辛几何发展的里程碑是在1985年，俄罗斯数学家格罗莫夫（M. Gromov）引入了拟全纯曲线（Pseudo-holomorphic curve）的概念^[3]  ，证明了譬如不可压缩定理（Non squeezing theorem）等一些非常奇妙的定理。这套理论后来发展成为格罗莫夫-威腾不变量（Gromov-Witten invariant），弗洛尔同调（Floer homology）等在辛几何中非常重要的理论。

阿诺德猜测

前苏联数学家阿诺德（V. I. Arnold）猜测紧致辛流形的辛自同构至少要有一定数目的不动点，并将不动点的数目估计同拓扑学中的莫尔斯不等式做类比。^[4]  这个猜测成为辛几何在二十世纪最后20年的指导性纲领。德国数学家弗洛尔（Andreas Floer）为证明阿诺德猜测，引入了弗洛尔同调的概念，成为辛几何领域的重要工具。^[5] 

镜像对称

主条目：镜像对称

在弦理论中，物理学家发现卡拉比-丘流形（一类特别的辛流形）存在一种被称为“镜像对称”的现象，即一个卡拉比-丘流形的复几何性质对应着另一个卡拉比-丘流形（它的镜像流形）的辛几何性质。这个观点极大的影响了1990年代之后的辛几何的研究。其中1998年菲尔兹奖得主孔采维奇（Maxim Kontsevich）提出的“同调镜像对称”猜想，日本几何学家深谷贤治（Kenji Fukaya）提出的“深谷范畴”等在现代辛几何的研究中都有非常重要的意义。