在著名的博文《理解矩阵》中，作者孟岩一上来就提出了令人困惑的问题：矩阵究竟是什么东西？这看似是一个简单的问题，但其实很难回答，因为众所周知，越是简单的问题越难以说清楚.

最直观的说法就是“矩阵是一堆数，只是在其上规定了一些运算”，这有点类似于面向对象编程中的“类（class）”的概念.究其原因，乃是矩阵从逻辑上可视为是从“自然数→实数→复数→超复数→向量→矩阵”推广而来，这也与其历史发展轨迹大致相当.大家知道，人类对于数的研究已经贯穿了几千年的文明史，更遑论内涵更大、应用更广的“向量”乃至“矩阵”. 自上世纪末，G.W.斯图尔特就拟以5册之巨著，戮力于阐释“矩阵算法”.其实依我们愚见，关于矩阵“这堆数”，即使来个“百集连续剧”也难以穷尽.因为“凡有井台处皆能歌柳词”，矩阵的“芳踪”正如柳永的词一般，“凡有多元处必有矩阵”. 如今关于矩阵的知识早已成为工程技术人员必备的数学基础知识，有人甚至认为它就是“研究生的线性代数 + 高等数学”.这也说明线性代数和高等数学是学习矩阵分析课程的必备基础.

基于自身的工科背景，孟岩指出“矩阵是线性空间里的变换的描述”，并结合计算机图形学知识对之进行了详细阐释.事实上，从更高的层面看，矩阵是泛函中的一种特殊的线性算子，可谓“矩阵即变换”.了解泛函分析的读者都知道，这已经是用泛函的眼光来看待矩阵了.一般可将矩阵的理论知识大致划分为“空间与变换”、“矩阵分解论”以及“矩阵分析论”，其中“空间与变换”依托的就是泛函分析与抽象代数，因此以变换的眼光看待矩阵，自然就具有高屋建瓴之势.这就意味着我们在教材编写和实际教学中，既要通过大量实例丰富读者的感性认识，更要极力渗透泛函分析的初步知识，以使读者逐步养成“一览众山小”的视野.当然，不同学科背景的读者自然会收获不同的“感性+理性”.

在名著《古今数学思想》中，M?克莱因写道：

“（行列式与矩阵）在数学上并不是大的改革.……尽管行列式和矩阵用作紧凑的表达式，尽管矩阵在领悟群论的一般定理方面具有作为具体的群的启发作用，但它们都没有深刻地影响数学的进程.然而已经证明这两个概念是高度有用的工具，现在是数学器具的一部分.”

处在该书出版的1972年，他的观点无可厚非.但计算机的飞速发展和信息社会的如火如荼，使得矩阵世界在这几十年里发生了翻天覆地的变化.

首先是矩阵计算（又称数值线性代数）的异军突起.计算机的横空出世给线性代数研究带来了新的机遇和挑战，极大地促进了矩阵计算乃至科学计算的兴起和发展，使得原本被许多人认为已经“寿终正寝”的线性代数“枯木逢春”.反过来矩阵计算的研究以及Matlab等计算软件的不断改进，更是成为大规模、高速、并行、移动、网络计算中的得力工具，这进一步促进了诸如“模型降阶”等化解“维数之咒”的新兴课题的蓬勃发展.世界顶尖的数值分析学家L. N. Trefethen早在1997年就深刻地指出：

“如果除了微积分与微分方程之外，还有什么领域是数学科学的基础的话，那就是数值线性代数.”

世界上最大的专业学术组织IEEE（电器与电子工程师学会）主办的《科学与工程计算》杂志，在2000年评选出了“二十世纪十大算法”，其中就有三个与矩阵计算直接相关，它们是1950年提出的Krylov子空间迭代法、1951 年提出的矩阵计算的分解方法以及1959年至1961年间提出的计算矩阵特征值的QR算法.

其次是吴文俊先生的数学史研究，它校正了人们对数学世界的看法.受西方中心论的束缚，之前人们一直认为“中国古代数学著作都是应用问题集”、“在古代中国的数学思想中，最大的缺点是缺少严格求证的思想”.吴文俊先生通过大量分析，明确推出“近代数学之所以能够发展到今天，主要是靠中国[式]的数学，而非希腊[式]的数学，决定数学历史发展进程的主要是靠中国[式]的数学，而非希腊[式]的数学”，并将中世纪数学发展过程概括为：

其中c表示世纪.他深刻地指出：

“从数学有史料为依据的几千年发展过程来看，以公理化思想为主的演绎倾向以及以机械化思想为主的算法倾向互为消长.”

“我国传统数学有其自身的发展途径与独到的思想体系，而以机械化为其特色；方程求解尤其是贯穿两千多年发展中的一条主线.这与遵循古希腊传统的西方数学的公理化演绎体系大相径庭，旨趣迥异.在历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长交替成为数学发展中的主流.”

这就从理论上回答了什么是世界数学发展的主流问题.当然，与吴文俊先生的研究遥相辉映的是，当时科学哲学领域也兴起了以库恩为代表的新历史主义学派.

吴文俊先生的研究更使我们明确意识到：对待演绎体系与算法体系，合理的态度应该是取两者之长，兼收并蓄，而不能厚此薄彼，褒一贬一.事实上，深厚的数学基础和丰富的计算机知识是从事矩阵计算的必要条件. 比如矩阵计算领域的奠基性大师豪斯霍尔德，最先研究的是泛函分析，之后转向生物数学，最终建功立业于矩阵计算领域.

另外，布尔巴基学派的“结构数学”也给人们带来了极大的冲击.自20世纪30年代兴起的结构数学，在系统地整理了数学知识的同时，更给数学教育带来了“新数学运动”.但由于“新数学运动”一昧注重形式上的严格性，忽视乃至抹杀数学的直觉性，使得学生的数学学习跌跌撞撞，步履踉跄，满满的都是泪水，学生也恍如杂技中表演钻火圈游戏的小白鼠，在考试的皮鞭挥舞之下拼命奔跑，完全变成了枯燥的规则的奴隶.

正是基于上述分析，我们认为，在矩阵分析课程的教学中，我们更需要的是“返璞归真改变思维”，是“抛弃各种有形和无形的思想枷锁”.因此在本教材的体系、选材和编写中，我们力求突出以下特点：

1、重新整合内容体系，兼顾矩阵计算

从实践角度看，矩阵分析处理的是线性化以后的非线性问题，它已经深入到了数值求解的每个领域，其后续是数值分析（包括矩阵计算、微分方程数值解等分支学科）的理论、算法及其语言实现.因此我们认为，应该将矩阵分析类课程看成是实践性很强的理论性课程.然而由于方方面面的制约，目前已有的教材都很少涉及实践性方面，而这正是我们希望通过本书加以弥补并大力宣扬的目标之一.为此，我们精心挑选了矩阵计算中处理三大核心问题（线性方程组求解、最小二乘问题和特征值问题）的一些最重要的数值方法，尽可能详细地阐明它们的设计思想和理论依据，并重新整合矩阵分析的内容，尽可能使两者无缝连接，以避免给人以突兀之感.例如，在回顾了线性方程组的知识之后，我们通过高斯消元法，引入了LU分解，进而自然地导出了线性方程组的数值求解问题.  

在本书中，我们还通过分析Matlab软件的内置函数和帮助文档，将其中已公开的实现算法中所涉及的矩阵计算理论细节与课程教学紧密联系起来，以便读者理解计算结果.例如Jordan标准型与内置函数jordan、矩阵指数与内置函数expm、LU分解与内置函数lu、QR分解与内置函数qr、奇异值分解与内置函数svd，等等. 对于本书中所使用的Matlab代码，需要的读者请来邮索取.

2、注重启发式教学，力争将“冰冷的美丽”转变成“火热的思考”

以定义开头，继之以定理和公式，再辅以应用，这似乎成了数学类教材的典型模式.这种形式化的编书方式，经常让学生觉得数学概念就像孙悟空一样，是从石头缝里蹦出来的.对这种“空降部队”，学生从心理上难以接受，也使得从问题出发抽象出数学知识再回到问题这种丰富多彩的数学思维活动被“掐了两头，只剩中间”，变成了纯粹的逻辑推理，从定理到定理，从结论到结论.作为面向非数学类工科学生的教材，如果也采取这种模式，对学生而言，无异于梦魇.

事实上，作为启发式教学的重要辅助工具，教材必须充分反映学生的思维过程，要通过一系列启发性的问题和各种各样的尝试和想法，让学生在观察、比较和推理中形成结论. 我们在本书中，充分注意学生已有的基础和经验，注重采用多种方式自然地引入数学基本概念和基本方法.例如从齐次方程组的求解引入向量空间、从向量空间和线性齐次函数引入线性空间、从Gram-Schmidt方法引入QR分解、利用几何直观引入SVD、从对角化问题引入正规变换及其矩阵、从向量的长度引入向量范数及矩阵范数、从高斯消元法引入LU分解，等等.

3、适当增加矩阵的各类应用，淡化部分结论的理论证明

为了加强本课程对修读学生的吸引力，以利于学生快速进入实践环节，同时为了充分展示矩阵工具的强大，教材中还加入了一些具体应用.当然，我们也希望通过它们，可以提供解决实际问题的理论框架和思想方法.这些应用，既包括数学内部的应用，比如矩阵的谱半径、线性方程组的扰动分析、线性方程组迭代法的敛散性分析、微分方程数值解，也包括跨学科的各种应用，比如线性系统中的状态空间理论、运动分析及能控性和能观性、模式识别中的模式分类问题、主成分分析法（PCA）、图像压缩，等等.

考虑到教学中的实际情况及篇幅，编者适当略去了部分定理的证明，并对部分内容做了简化处理.需要深入研究的读者，可参阅书后所附的参考文献.

4、渗入数学史及数学文化，增强教材的趣味性和可读性.

为了活跃课堂气氛，对数学史及数学文化，在课程讲授中，我们曾多有提及，但因为时间关系，师生都觉得不过瘾.在撰写本书的过程中，与学生多有互动，他们也希望能在书中多讲点这些知识，以增加课程的趣味性.我们的想法，写进书以后，课堂上就不必多费口舌了. 当然，讲什么和讲多少是个问题.

首先，我们以较大的笔墨（2.1.3和2.1.4共两小节），比较详细地阐述了向量空间的历史，以期让读者初步领略公理化思想所带来的革命性变化，从而在感叹向量空间这个最重要的观念来之不易的同时，能够更深刻地领悟到矩阵计算对公理化思想的反拨，进而建立起更加理性的数学态度.

其次，基于我们对矩阵分析与计算发展历史的理解，对于与重要思想有关的重要人物，我们也特辟专节加以详细阐述.比如提出Jordan标准型的艾米尔·约当、提出Householder变换的豪斯霍尔德、提出Hermite变换的埃尔米特、发现SVD的G.H.戈卢布、提出雅可比迭代和雅可比矩阵的雅可比、提出Rayleigh商的瑞利勋爵，以及提出Lanczos过程的兰乔斯，等等.当然，限于篇幅，我们只能“故意遗漏”一些重要思想和人物，比如向后扰动分析法的创始人和代数特征值问题上的大师威尔金森、制定浮点数标准的卡亨，等等.至于与相对次要的思想有关的人物，也尽量给予一定笔墨，比如发现LU分解的图灵、发现施密特正交化的施密特、提出Schur引理的舒尔、提出Galerkin方法的伽辽金、提出Krylov子空间的克雷洛夫，等等.

再次，我们还刻意凸显了课程中的“中国元素”.例如高斯消元法与《九章算术》、嵌套乘法与秦九韶算法、范数与樊土畿 先生，等等.这在西方人占据主导的矩阵知识中，是弥足珍贵的.

感谢何志庆教授在出国前夕的百忙之中，审阅了大部分书稿.感谢鲁习文教授、刘朝晖教授、李建奎教授和张先梅教授等院系领导对本教材给与的大力支持，还要感谢周国标教授给予笔者的点金之语，以及刘剑平教授对本教材的热忱关注.另外，要特别感谢华东理工大学教务处相关领导及校教材建设委员会的诸位专家，蒙他们垂青，本书得以忝列2012年度教材立项项目.

我们深知，不仅矩阵所涉方方面面皆博大精深，而且对矩阵知识和思想真正的吸纳与融汇也是任重而道远.在戴维·洛奇的《小世界》中，年轻的柏斯苦苦追寻着心中的“莎士比亚”.对于矩阵这个“心中的圣殿”，不年轻的我们也心有戚戚焉. 夫学术者，天下之公器也.我们衷心期望的是，当我们怯怯地“放下第二步”的时候，听到的不是“第一步空寥的回声”（何其芳《预言》）. 书中不当乃至谬误之处，诚盼各位方家高手来函批评指正.来信请邮至：jgli@ecust.edu.cn

                                                             编者

于华东理工大学数学系