洞头县洞头职教中心学校校本培训活动记录表

（项目负责人填写）

学校：洞头职教中心

4.2.3 等差数列的前n项和

【教学目标】

一、知识与技能

1.借助几何图形，通过直观感知，能自觉获得等差数列的前项和公式的推导思路；理解公式的推导过程，再次感受数形结合的思想。

2.理解公式，能用公式解决简单的问题；通过公式运用进一步体会方程的思想；让学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法；进一步加深对等差数列的认识。

    二、过程与方法

    1.启发式教学。从三角形图案入手，以高斯算法引入，设计了很多“想一想”、“试一试”、“探究”，就是为了启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。

    2.探究式学习。从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。

    三、情感态度与价值观

1.让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。

   2.培养学生良好的思维习惯，以及为科学勇于创新、不懈努力的探索精神。

【教学重点、难点】

重点：探索等差数列的前n项和公式的推导并获得思路；掌握公式，学会用公式解决简单的问题；体会等差数列的性质、公式与方程的联系。

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

解决办法:以三角图案入手，得自高斯算法的启发，设计一个“试一试”，借助几何图形的变化得到“倒”的思路。

【教学用具】   

实物投影仪，多媒体软件，电脑

 

【教学过程】

 一、情景引入:

1.（播放媒体资料）印度泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿……成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

  传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

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少年高斯是如何快速地得出了结论的呢？

　　高斯用的是首尾配对的方法。

特点：    首项与末项的和：           1＋100＝101，

第2项与倒数第2项的和：    2＋99 ＝101，

第3项与倒数第3项的和：    3＋98 ＝101，

· · · · · ·

第50项与倒数第50项的和：  50＋51＝101，

于是所求的和是： 101×50＝5050。

S₁₀₀ = 1+2+3+ ······ +100

= 101×50 = 5050

 

2、试一试：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？

把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均为101个，共100行。有什么启发？

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1        +   2  +  3  +  ……+98  +99  +100

   100+  99  +  98 + …… + 3  +2   +1

1+2+3+…+100=（100+1）×100÷2=5050

想一想：1.你能用一个字说出高斯算法的巧妙之处吗？  （配）

        2.你能用一个字说出第二种算法的巧妙之处吗？（倒）

点出方法：倒序相加

二、新课教学

1.探究1：求1到n的正整数之和    即：s_n =1＋2＋3＋……＋n

 

2.看谁算得快：某职业学校美容班上课需要眉笔，到商场购买时，发现商场将眉笔堆放在特殊的透明容器中，其截面如图所示，共5层，最底层5支，每层都比下一层多1支，试求出这批眉笔的总数？     

 

 

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5＋6＋7＋8＋9= =35

3.探究2：那么，对于一般的等差数列，又该如何去求它的前n项和？

即： =a₁+a₂+a₃+……+a_n

证法1：利用定义可得：

两式相加可得：       即

证法2： 

∴（1）+（2）可得：2

∴

公式变形：将 代入可得：

综上所述：等差数列求和公式为：

 

4.认识公式：

（1）用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 n 项和的两个公式。

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（2）公式特点：（1）相同点：都需知道a₁与n.

                  （2）不同点：第一个还需知道an ，第二个还需知道d。

 5.公式应用：

例1 在小于100的正整数的集合中，有多少个数是9的倍数，求出它们的和。

解：（略）

 

练习一  求等差数列-10，-6，-2，2，…前10项的和。

变式题：等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项和是54？

解：设题中的等差数列为 ，前n项为

则

由公式可得

解之得： （舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54。

思考：其实，在求和公式、通项公式中共有首项a₁、公差d、项数n、末项a_n、前n项和s_n五个元素，如果已知其中（三个），联列方程（组），就可求其余（两个）。（知三求二）

练习二

  P125 第3、4题；

例2 某电影院的一个影厅中，共有20排座位，第一排有16个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，请问这个影厅一共有多少个座位？

练习二： 1.已知一等差数列中a₅=10，则s₉=（  C    ）

            A、45     B、60     C、 90     D、120

         2.已知一等差数列中a₃+a₆+a₉=－6，则s₁₁=（  B   ）

             A、－11   B－22      C、0    D、22、

想一想：

1.等差数列第k项与倒数第k项的和等于 （首末两项的和   ）

2.等差数列有奇数项，那么前n项和等于 （中间项乘以项数 ）

 公式的变式：  

三、课堂小结：

1.回顾公式的推导，从特殊到一般是我们研究问题的一般方法；

2.倒序相加的方法，数形结合的思想；

3.掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用。

四、作业分层布置：1.必做题：P125 第1、2、5、8题；

                  2.选做题：P125 第7题。

【板书设计】

 

 

 

 

 

 

 

 

 【教学设计说明】

一、情景引入：1.以三角形图案开始，高斯算法引入，激发学生的兴趣。

                 2..因为高斯算法与倒序相加法有一段距离，设计了一个“试一试”：假如再给你同样多的珠宝，在原图的基础上你能设计出一个什么样的图案呢？目的是想让同学们从图形变化入手，从感性上体会“倒”的巧妙，启发同学的思维，为自然过渡到“倒序相加法”作准备。我认为这个设计有“四两拨千斤”之效。

二、两个探究

1.探究1，从特殊数列入手，让学生更好地体会 “倒序相加法”的优点。

2.“看谁算得快”是为了联系“梯形”图形，启发同学的思维，也是加深倒序法的感性认识。

3.探究2：公式的推导，要求学生自觉地应用“倒序相加法”。

从情景引入到探究1、2，到公式的认识，无不体现了“数形结合”的思想。

三、例题及习题的选择

   例1及变式题到例2有一定梯度，例2有点活，都反映了公式的特点，达到理解公式、自如地运用公式的目的。

   练习一是基本运用，体现了一定的梯度，要鼓励学生用多种解法。

   练习二体现了公式的灵活运用，更要突出解选择题的方法技巧。

练习题包含了三种题型，训练全面；能很好地让学生的能力得到逐步提升。

整个教学过程都体现了从“一般到特殊，再从特殊到一般”的认知规律。

附件2：活动照片

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