万有引力定律和广义相对论的比较研究

—比较物理学系列论文之一

付昱华

（中海油研究总院，E-mail：fuyh1945@sina.com）

摘要：作为比较物理学系列论文之一，讨论万有引力定律（包括改进的万有引力定律）和广义相对论两个理论的相同点：都是引力相互作用的有效理论；都能解决行星近日点进动问题和光线近日偏折问题；不同点：广义相对论符合广义相对性原理，而万有引力定律不符合这一原理；万有引力定律能够解决引力场中的受约束问题（如小球沿斜面滚下），而广义相对论不能解决该问题。两个理论还可以取长补短，共同给出水星近日点进动问题的新解释，亦即行星近日点进动是两个运动的复合结果：根据万有引力定律确定的椭圆运动产生近日点，太阳系的涡旋运动又产生近日点进动，而进动的参数则由广义相对论确定。两个理论的共同缺陷是没有考虑能量守恒原理（定律），比较应用能量守恒原理（定律）导出牛顿第二定律和万有引力定律的成果，进一步的课题是应用能量守恒原理（定律）导出广义相对论的有关公式和方程组。

关键词：比较物理学，万有引力定律，改进的万有引力定律，广义相对论，异同，能量守恒原理（定律）

 

Comparative Studies of Law of Gravity and General Relativity

—No.1 of Comparative Physics Series Papers

 

前言

在参考文献[1]中提出比较物理学的概念。作为比较物理学系列论文之一，本文讨论万有引力定律和广义相对论的比较研究。主要包括：两个理论的相同点和不同点；两个理论的共同应用；两个理论的共同缺陷和改进途径。

 

1   万有引力定律（包括改进的万有引力定律）和广义相对论两个理论的相同点

第一个相同点：两个理论都是引力相互作用的有效理论。

万有引力定律是第一种应用数学公式描述引力相互作用的有效理论。万有引力定律揭示了天体运动的规律，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的应用。科学史上哈雷彗星、海王星、冥王星的发现，都是应用万有引力定律取得重大成就的例子。牛顿还解释了月亮和太阳的万有引力引起的潮汐现象。万有引力定律对于绝大部分引力现象已经足够精确。

许多学者认为，广义相对论是比万有引力定律更为精确的引力相互作用的有效理论；然而在一系列改进的万有引力定律产生之后，这一说法已经遭到越来越多的质疑；但是无论如何，广义相对论在历史上曾经产生过重大的影响。

第二个相同点：两个理论都能解决行星近日点进动问题和光线近日偏折问题。

广义相对论最初的两个实验验证就是行星近日点进动问题和光线近日偏折问题。特别是在1919年5月29日的日全食期间，由于实测的光线偏折值与广义相对论的理论预言符合得很好，曾引起世界的轰动。

许多学者还认为，这两个问题无法用万有引力定律解决，其实不然，应用改进的万有引力定律，同样可以解决这两个问题。

如所周知，借助于万有引力定律，才能导出广义相对论的场方程。同样的，应用广义相对论，也能导出改进的万有引力定律。

在参考文献[2-4]中，联合应用万有引力定律和广义相对论导出改进的万有引力公式，其过程改写如下。

根据广义相对论讨论行星绕日运动问题时，可得如下方程

                                     (1)

式中：；G为引力常数；M为太阳质量；c为光速；p为半正焦弦，而且有

p = a(1-e²)    (对于椭圆)

p = a(e²-1)    (对于双曲线)

p = y²/2x      (对于抛物线)

根据有心力作用的轨道微分方程（比耐公式）

                                     (2)

式中：h²为常数。将(1)式代入(2)可得

                              (3)

    原有的万有引力公式为

                                (4)

    对比(3)和(4)式中含u²的项可得

     

    将 代入(3)式可得

                           (5)

将 代入即得改进的万有引力公式

                              （6）

在参考文献[5]中，根据该公式用经典力学方法就可以求解行星近日点进动问题以及光线近日偏折问题，而且其结果与广义相对论完全一样。

 

2   万有引力定律（包括改进的万有引力定律）和广义相对论两个理论的不同点

    第一个不同点：广义相对论最重要的基本假设是广义相对性原理：物理定律的形式在一切参考系都是不变的；但是万有引力定律不符合这一原理。

第二个不同点：万有引力定律能够解决引力场中的受约束问题（如小球沿斜面滚下），而广义相对论不能解决该问题。

一般学者都认为：万有引力定律能够解决的问题，广义相对论也能解决；而广义相对论能够解决的问题，万有引力定律却不一定能够解决。其实情况并不是这样，某些万有引力定律能够解决的问题，广义相对论却不能解决。因为广义相对论只能解决自由粒子在引力场中的运动，所以像引力场中的受约束问题（如小球沿斜面滚下），就不能用广义相对论来解决，目前只能用万有引力定律或者改进的万有引力定律来解决。

在参考文献[4，5]中，对于引力场中小球沿斜面滚下的一个实例，应用能量守恒定律导出改进的万有引力公式和改进的牛顿第二定律。

常维分形的结果如下。

改进的万有引力定律

                                   

改进的牛顿第二定律

                                       

变维分形的结果如下。

设改进的牛顿第二定律为  ， ；改进的万有引力定律为 ， ；其中 为小球滚下的水平距离。

经过确定 ，得到变维分形的结果： ， 。

变维分形的结果要大大优于常维分形的结果。

 

3   两个理论共同给出水星近日点进动问题的新解释

经过比较可以发现，两个理论还可以取长补短，共同给出水星近日点进动问题的新解释。

这个问题在参考文献[6]中已经基本解决，这里将其重新改写如下。

许多学者认为，广义相对论并没有终结对于行星近日点进动问题的研究，因为影响行星近日点进动的因素很多，因此这个问题尚需继续研究。

广义相对论对于行星近日点进动的解释，虽然较好地符合观测数据，但由于其轨道是不闭合的，是否符合能量守恒定律没有得到验证。为此，联合应用万有引力定律和广义相对论提出一种新解释：行星近日点进动是两个运动的复合结果。第一个椭圆运动产生近日点，第二个涡旋运动产生近日点进动。在行星-太阳系统的第一个运动中，行星在万有引力作用下其轨道是闭合椭圆，因而符合能量守恒定律。与此同时行星还参加以太阳为中心的太阳系涡旋运动；该涡旋运动的长期趋势是进一步研究的课题，不过在短期内可以认为由于惯性作用行星近日点在涡旋中做圆周运动导致近日点进动，这样也不违反能量守恒定律。根据广义相对论的有关结果，得出近日点进动角速度的近似结果。

根据广义相对论，行星近日点进动值为：

                                      （7）

式中：c 为光速﹐T﹑a﹑e 分别为轨道周期﹑半长径和偏心率。

而根据本文的新解释，行星近日点进动是两个运动的复合结果。

第一个椭圆运动产生近日点，第二个涡旋运动产生近日点进动。

在行星-太阳系统的第一个运动中，行星在万有引力作用下，如果不考虑其他行星的摄动作用，则其轨道是闭合椭圆，因而符合能量守恒定律。

与此同时，行星还参加以太阳为中心的太阳系涡旋运动；该涡旋运动的长期趋势是进一步研究的课题，本文不予讨论；不过在短期内可以认为由于惯性作用行星近日点在涡旋中做圆周运动导致近日点进动，这样也不违反能量守恒定律。

综上所述，本文提出的复合运动的新解释，自始至终不违反能量守恒定律。

    下面根据广义相对论讨论行星近日点进动的角速度。

根据公式（7），如果以太阳为中心，行星近日点进动的角速度为

                                     （8）

根据开普勒第三定律

   

式中：G为引力常数，M为太阳质量。

公式（8）可以改写为

                                       （9）

根据上式可以看出，行星近日点进动的角速度与成反比，而行星近日点进动的速度与成反比。

下面根据坐标系的旋转变换给出包含近日点进动的行星轨道方程。

假设在太阳-行星系统中，取太阳中心为坐标原点，行星的轨道方程为

   

式中：k为椭圆半焦距。

根据坐标的旋转变换

   

   

式中： 为旋转角度（亦即进动角度），。

于是可得考虑涡旋运动之后，行星的旋转轨道方程为

   

 

4   两个理论的共同缺陷

能量守恒原理（定律）是物理学中最重要的原理（定律）。

经过比较可以发现：两个理论的共同缺陷是都没有考虑能量守恒原理（定律），而这个问题在以往并没有受到重视。

消除这个共同缺陷的途径是应用能量守恒原理（定律）导出万有引力定律，以及广义相对论的有关公式和方程组。

下面我们就导出原有的牛顿第二定律和原有的万有引力定律。

首先导出原有的牛顿第二定律。由于在推导过程中要用到万有引力定律，所以我们首先给出含有待定常数的牛顿第二定律和万有引力定律的一般形式。

假设万有引力定律中的有关指数是未知的，只知道公式的形式为：

                                    

式中: D为待定常数，在导出牛顿第二定律之后，我们将导出其值等于2。

类似地，假设牛顿第二定律中的有关指数也是未知的，只知道公式的形式为：

                                    

式中: D’为待定常数，下面我们将导出其值等于1。

如图1所示，设圆O’代表地球。地球的质量为M，小球的质量为m。设AO’为一条铅垂线，y坐标与AO’平行。AC的长度为H， O’C的长度等于地球半径R。

假设可以不考虑地球的运动而只考虑小球在地球引力场中的自由下落（从点A到点C）。

                 

                       图1，小球在地球引力场中自由下落

 

对于本例，我们感兴趣的物理量是小球在任一点P时速度的平方 ，为了便于区别，将牛顿第二定律及万有引力定律计算的结果仍然记为 ，将能量守恒定律计算的结果记为 。

现在我们先根据能量守恒定律计算有关的物理量。

由含待定常数的万有引力定律可以得到小球位于任意点P时的势能为

                                          

根据能量守恒定律应有

                     

于是有

                      

现在我们根据牛顿第二定律及万有引力定律计算有关的物理量。

当小球运动到任一点P时，由于

                                             

而   

于是有                                           

根据含待定常数的万有引力定律可得沿铅垂方向所受力为

                                            

根据含待定常数的牛顿第二定律可得P处沿铅垂方向的加速度a为

                                     

于是可得

                              

将上式两端从A到P进行积分，可得

          

               

如果要求 ，则应有  和 ，由这两个方程式均可以得到： ，于是对自由落体问题应用能量守恒定律严格导出了原有的牛顿第二定律 。

此时虽然不能导出原有的万有引力定律（因D值可以是任意常数，当然也包括D=2），但是却证明了对于本例，原有的万有引力定律的结果与能量守恒定律的结果无矛盾。

    下面根据能量守恒定律导出原有的万有引力定律。

为了对自由落体问题真正导出原有的万有引力定律，需要考虑小球从A点自由下落一段极短距离 ，到达端点P’时的情况（如图1所示）。

在导出原有的牛顿第二定律时，我们已经得到

   

式中：

由于 极短，在此区间引力可视为线性变化，所以在此区间引力所做功 为

   

式中， 为区间 的引力平均值，亦即区间中点的引力值。

略去 的二次项（ ）可得

   

当小球下落至区间 的端点P’时，其动能为

   

根据能量守恒定律，应有

   

将有关量代入上式可以得到

   

   

由此得到下面的三个等式

   

   

   

从这三个等式都可以得到

   

于是我们就根据能量守恒定律导出了原有的万有引力定律。

比较应用能量守恒原理（定律）导出牛顿第二定律和万有引力定律的成果，进一步的课题是应用能量守恒原理（定律）导出广义相对论的有关公式和方程组。

 

5   结论

在比较物理学中，根据比较的方法，可以讨论不同物理定律的相同点和不同点；进而讨论不同物理定律如何取长补短，共同对某些物理问题给出全新的解释；而对于不同物理定律的共同缺陷，可以通过比较的方法探讨消除这种共同缺陷的有效途径。由此看来，比较物理学将具有良好的发展前景。

 

参考文献

1 Fu Yuhua. Expanding Comparative Literature into Comparative Sciences Clusters with Neutrosophy and Quad-stage Method, Neutrosophic Sets and Systems, Vol. 12, 2016, 118~121

2 付昱华，改进的牛顿万有引力公式，自然杂志，2001年1期

3 Fu Yuhua, New Newton Mechanics Taking Law of Conservation of Energy as Unique Source Law, Science Journal of Physics, Volume 2015, Article ID sjp-130, 12 Pages, 2015, doi: 10.7237/sjp/130

4 Fu Yuhua. New Newton Mechanics and Related Problems, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2016

5 Fu Yuhua. Solving Problems of Advance of Mercury’s Perihelion and Deflection of Photon Around the Sun with New Newton’s Formula of Gravity, viXra:1507.0164 submitted on 2015-07-21

6 Fu Yuhua. New Explanation of Advance of Planetary Perihelion and Solar System’s Vortex Motion. See: Unsolved Problems in Special and General Relativity. Edited by: Florentin Smarandache, Fu Yuhua and Zhao Fengjuan. Education Publishing, 2013. 249-252