能产生全体质数的一元函数的质数表达式

发表于《新疆师范大学学报》2000年第一期

    寻求质数表达式向来是数学界最感兴趣的题目之一，费尔马（Pierre.de.Fermat）、欧拉（Leonhard.Eulor）等著名数学家都曾参加过这个行列。比较近期的如：１９６３年，布雷迪欣（B.M.Bredihin）证明了二元二次函数

对无穷多对整数（Ｘ，Ｙ）都产生质数，但不是产生全部质数，也不是对每对（Ｘ，Ｙ）都产生质数。

    又比如，１９７６年滑铁卢大学教授罗斯·杭斯伯格（Ross.Honsberger）根据威尔逊（J.Wilson ）定理，在其所著的《数学珍宝》（Mathematical  Gems）一书中建立了如下函数:

其中Ｂ＝Ｘ（Ｙ＋１）—（Ｙ！＋１），当（Ｘ，Ｙ）都是自然数时，Ｆ（Ｘ，Ｙ）的值都是质数，且产生全部质数。有文章指出这是寻求质数表达式迄今为止的最好结果（见《知识就是力量》１９９２年第１０期《质数之谜》）。

    美中不足的是，上述表达式都是二元函数，而且需要通过一次转换才能得到结果。能不能找到一元函数且能全部产生质数的表达式呢？有人已经证得，任何一元多项式，不可能代入每个非负整数所得的值都是质数。

    然而退一步说，能否找到非多项式的一元函数的质数表达式呢？笔者根据威尔逊定理，建立了这样的公式：

(1)式能达到与罗斯·杭斯伯格表达式同样的结果：当ｎ取自然数时，Ｐ只产生质数，且能产生全体质数，而且除偶质数以外，每个奇质数恰好只产生一次。

即［Ｘ］为Ｘ的求整函数。如［３．１４］＝３；［３］＝３。

    威尔逊定理是数论中的著名定理，其表达式为：

        Ｐ是质数＜＝＞Ｐ│（（Ｐ－１）！＋１）

这里“│”表示整除的符号。威尔逊定理也可表述为：当且仅当（Ｎ—１）！＋１能被Ｎ整除时，Ｎ是质数。

    对式的证明如下：

    ｎ取自然数，只有两种情况，或ｎ为质数，或ｎ为非质数，我们分别证明：

    一，ｎ为质数

将(2)代入(1)

            Ｐ＝（ｎ－２）×１＋２

            Ｐ＝ｎ

因ｎ为质数，所以Ｐ为质数。

    二，ｎ为非质数

不等式两边乘以—１

不等式两边同时加１

将(3)代入(1)

            Ｐ＝（ｎ－２）×０＋２

            Ｐ＝２

即Ｐ为质数。

    综上所述，当ｎ为任意自然数时，Ｐ恒为质数。又，ｎ的取值范围为全体自然数，可包括全体质数，故式可表达全体质数。

    至于求整函数能否用于数论，这一点是没有疑问的。１９４７年米尔斯（W.H.Mills）证明存在实数Ｋ使得      

都是质数。此处［Ｋ］表示不超过Ｋ的最大整数。该式中就使用了求整函数。

    对式需要补充说明的是，我们只是在证明过程中需要将Ｎ分为质数和非质数两种情况进行分析，在实际运算时并不需要事先判定Ｎ是否为质数，只须将自然数Ｎ一一代入式即可，如果结果为２则说明Ｎ为合数，如果结果为Ｎ则说明Ｎ为质数。但由于当Ｎ比较大的时候，Ｎ！的计算量将非常巨大，以致大到连巨型计算机也无法完成，所以我们并不指望它在寻找未知质数方面具有实际用途，它只具有理论上能产生全体质数的意义。

    如果我们认真分析一下，就会发现杭斯伯格表达式与式一样，也同样是一个从威尔逊定理导出的表达式，也同样是一个仅在理论上产生全体质数而没有所谓“实际用途”的表达式，对于Ｘ和Ｙ的组合来说，绝大多数情况下只产生２，只有极个别情况下才产生奇质数，由于含有阶乘，所以计算量也同样非常巨大。

    事实上，既能用来寻找未知质数又能产生全体质数且只产生质数的表达式是否存在还是个问题，所以我们对这类能产生全体质数的表达式不可能再追求有什么“实际用途”，这类表达式的意义其实就在于理论上的“表达”。

    重要的是杭斯伯格表达式是目前世界上唯一能产生全体质数且只产生质数的表达式，而式能达到同样的目的，且比杭式更简洁，自变量更少，这就是式的全部意义之所在。