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趣味数学——用折纸法画椭圆
(2012-02-11 19:46:22)
前面我们用了两篇文章的篇幅，分别介绍了用折纸法画抛物线，与用折纸法画椭圆，我们自然就会想到，能不能用折纸法画双曲线？这也是有可能的，前面两篇文章的内容是摘自中学生数学文库，今天这篇文章是我依据前面的内容而得。
用折纸法画双曲线的方法
1：首先准备一张纸，在纸上画一个圆O，并在圆外取一点F。
2：采用和很类似画椭圆很类似的方法，开始折纸，将圆周折起一角，使得圆周过F点。
技术不行，图片画得有点歪，还请见谅，将就着看啦，哈哈。
http://img1.zxxk.com/2011-12/ZXXKCOM201112131455591717164.jpg
我们显然知道，这样的折叠有很多方法，每一次折纸都有一条折痕，将这些折痕标记出来，反复进行不同的折纸，只要每一次让圆周过F点就行。这样你就可以得到一系列折痕，你会发现，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓，可能会有朋友误认为是抛物线，因为这里得到的只有双曲线的一个分支。
http://img1.zxxk.com/2011-12/ZXXKCOM201112131456503891315.jpg
接下来的事情就和前面一样，你只要画一条曲线，只要这条曲线与每一条折痕相切就OK啦！同样的，我们应该来证明，为何得到的曲线就是双曲线？
折纸法画双曲线原理的证明
下面的图就是我们的证明图，相信读过前面两篇文章的朋友已经很熟悉。
http://img1.zxxk.com/2011-12/ZXXKCOM201112131457096587166.jpg
首先我们要知道的是，若以点F和点O为焦点，则可以做双曲线，这个双曲线当然不止一条。做F点关于折痕对称的点M，根据对称性，M点一定在圆O上，连接MO并延长，交于折痕于P，这个P点就是焦点。因为PF-PO=PM-PO=OM=r。也就是说，P点到O点和到F点的距离之差是一个常数！而这正是双曲线的定义，所以P点在一条双曲线C上，另一方面，我们可以证明，折痕上除了P点，不会有其他的点满足这个条件，所以说折痕就是双曲线的切线，众多的切线将双曲线包围起来，就衬托出了双曲线的轮廓。这正是我们折纸法画双曲线的原理所在。
和我们折纸法画椭圆不同，看我们图就知道，因为视野只是局限于圆内，所以有些折痕没能和我们的双曲线相切，事实上他们是相切与圆外的，所以各位在做实验的时候就可能会出现这种情况。
通过折纸法画椭圆和画双曲线，大家是否感觉两者的过程异常类似？两个唯一的不一样就是，椭圆的点F在圆内，而双曲线的点F在圆外，这正是二者不同之处。隐隐约约两者似乎有某种关系，明天再一同阐述。
前面我们用了两篇文章的篇幅，分别介绍了用折纸法画抛物线，与用折纸法画椭圆，我们自然就会想到，能不能用折纸法画双曲线？这也是有可能的，前面两篇文章的内容是摘自中学生数学文库，今天这篇文章是我依据前面的内容而得。
用折纸法画双曲线的方法
1：首先准备一张纸，在纸上画一个圆O，并在圆外取一点F。
2：采用和很类似画椭圆很类似的方法，开始折纸，将圆周折起一角，使得圆周过F点。
技术不行，图片画得有点歪，还请见谅，将就着看啦，哈哈。
我们显然知道，这样的折叠有很多方法，每一次折纸都有一条折痕，将这些折痕标记出来，反复进行不同的折纸，只要每一次让圆周过F点就行。这样你就可以得到一系列折痕，你会发现，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓，可能会有朋友误认为是抛物线，因为这里得到的只有双曲线的一个分支。
接下来的事情就和前面一样，你只要画一条曲线，只要这条曲线与每一条折痕相切就OK啦！同样的，我们应该来证明，为何得到的曲线就是双曲线？
折纸法画双曲线原理的证明
下面的图就是我们的证明图，相信读过前面两篇文章的朋友已经很熟悉。
首先我们要知道的是，若以点F和点O为焦点，则可以做双曲线，这个双曲线当然不止一条。做F点关于折痕对称的点M，根据对称性，M点一定在圆O上，连接MO并延长，交于折痕于P，这个P点就是焦点。因为PF-PO=PM-PO=OM=r。也就是说，P点到O点和到F点的距离之差是一个常数！而这正是双曲线的定义，所以P点在一条双曲线C上，另一方面，我们可以证明，折痕上除了P点，不会有其他的点满足这个条件，所以说折痕就是双曲线的切线，众多的切线将双曲线包围起来，就衬托出了双曲线的轮廓。这正是我们折纸法画双曲线的原理所在。
和我们折纸法画椭圆不同，看我们图就知道，因为视野只是局限于圆内，所以有些折痕没能和我们的双曲线相切，事实上他们是相切与圆外的，所以各位在做实验的时候就可能会出现这种情况。
通过折纸法画椭圆和画双曲线，大家是否感觉两者的过程异常类似？两个唯一的不一样就是，椭圆的点F在圆内，而双曲线的点F在圆外，这正是二者不同之处。隐隐约约两者似乎有某种关系，明天再一同阐述。
文章来源：学夫子数学博客
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