2017 年 1 月 1 日是2017年奥数（迎春杯）决赛的日记，前天得到小学高年组的试卷，试着分析一下。试题及其详细的解题方法和能力分析附在后面，解的仓促，如有错误、或有更好方法，请一定留言告诉我哈。

 

 

整体印象：

难度大，时间少。要得高分得经过高强度的训练。

知识点分布情况：

数论：4题

分数和百分数：3题

几何：2题

数学游戏：2题

逻辑推理：1题

排列组合：1题

行程问题：1题

最重要的能力：

数感

代数思维

逻辑推理

理解与分析能力

 

 

2017 年"数学花园探秘"科普活动 小学高年级组决赛试卷A

（测评时间：2017 年 1 月 1 日 8:00—9:30）

一．填空题Ⅰ（每小题 8 分，共 40 分）



【分析】

        

         63+1

= 64

能力和知识：

• 灵活使用运算定律完成分数的运算。

 

2. 一个边长为 100 厘米的正五边形和五个扇形拼成如图的"海螺"，那 么这个图形的周长是________厘米（π取 3.14）．

 

能力和知识：

• 正多边形的内角
• 不规则图形的周长计算方法
• 圆弧的周长计算方法

 

3. 在 2016 年里约奥运会女排决赛中，中国队战胜了塞尔维亚队获得冠军．统计 4 局比赛中中国队的得 分，发现前 2 局的得分之和比后 2 局的得分之和少 12%，前 3 局的得分之和比后 3 局的得分之和少 8%．已知中国队在第 2 局和第 3 局中各得了 25 分，那么中国队在这 4 局中的得分总和为________ 分．

【分析】因为第2局和第3局得分一样。

所以，前 2 局的得分之和比后 2 局的得分之和少的就是"第四局和第1局差"。

同理，前 3 局的得分之和比后 3 局的得分之和少的也是"第四局和第1局差"

设，第四局得x分，则有

    （x+25）

                4%x=1

                 X=25

所以，第一局得分

        25-（25+25）=19（分）

四局总得分：

        

能力和知识：

• 使用百分数比较多少
• 使用方程解决问题

 

4. 右面三个算式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字；那 么四位数"李白杜甫"＝________．

能力和知识：

• 数感
• 逻辑推理

 

   

5. n个数排成一列，其中任意连续三个数之和都小于 30，任意连续四个数之和都大于 40，则n的最大 值为________．

【分析】这n个数设为

任意连续四个数之和都大于 40

 同理

即 n的最大 值为5。

能力和知识：

• 数感
• 逻辑推理

 

 

二．填空题Ⅱ（每小题 10 分，共 50 分）

【分析】原式=

        =

        =

        =

        =32

 

 

能力和知识：

• 平方差公式
• 分数变形
• 分数数列
• 繁分数运算

 

7. 有一个四位数，它和 6 的积是一个完全立方数，它和 6 的商是一个完全平方数；那么这个四位数是 ________．

【分析】设这四位数为n ，由已知得

， （m,k为某未知整数）

即：，

即是完全平方数，又是完全平方数，它肯定是一个完全6次方数

(i为某未知整数)

n= = 7776

即这个四位数为7776。

 

能力和知识：

• 整数的分解
• 代数思想
• 次幂运算特征和规律

 

 

8. 在空格里填入数字 1～6，使得每行、每列和每个 2×3 的宫（粗 线框）内数字不重复．若虚线框 A,B,C,D,E,F 中各自数字和依次 分别为 a,b,c,d,e,f，且 a＝b，c＝d，e＞f．那么第四行的前五个数 字从左到右依次组成的五位数是________．

【分析】

，且3个不同非零自然数之和肯定不小于6

D区域中另两数为1、2

区域中只能是5、6，F区域中只能是1、2、3、4

A区域中1右边只能为4，F区域第2个为3

A区域中剩余两个只能是4、5，B区域中剩余两数为2、5或3、4

C旁边为1，从而得到右下角区域的结果

按照数独规则，通过以下顺序确定整个表格中的数值。

确定最右一列、确定右上区域、确定A区域、确定F区域、确定左上角、确定第3列、第2列、第5行、第4行

所以，第四行的前五个数 字从左到右依次组成的五位数是31462。

 

能力和知识：

• 数独或数感
• 逻辑推理

 

【分析】乔老师和饶老师话相互矛盾，他说两肯定有一个人没说实话。

也就是说，其它人说的都是真话。

显然，孙老师的红包小于40元

因为都是偶数，所以成老师+赵老师也还是偶数。

所以孙老师抢的金额是20元

成老师和赵老师合抢10元。

又因为成老师的金额是赵老师的倍数，

所以成老师8元，赵老师2元。

乔老师和饶老师合计有：

50-20-10=20（元）

 

如果乔老师说的是真话，那么乔老师抢到的金额是：

20/4 = 5（元）

和所有人抢到的金额都是偶数矛盾。

所以乔老师讲的不是实话。

所以饶老师说的是实话。

因为赵老师是2元，且大家金额都不一样。

所以乔老师16元，饶老师4元。

 

不讲实话的乔老师抢到了16元。

 

 

能力和知识：

• 逻辑推理
• 数感

 

10. 如图，P 为四边形 ABCD内部的点，AB:BC:DA=3:1:2，∠DAB=∠ CBA=60°．图中所有三角形的面积都是整数．如果三角形 PAD 和 三角形 PBC的面积分别为 20 和 17，那么四边形 ABCD 的面积最 大是________．

http://s12/middle/001wTePuzy77InihG43db&690

【分析】延长AD，BC，相交于E。

∠DAB=∠ CBA=60°

连接PE，则有，

=

=44

当 最小时，四边形ABC D的面积最大。

所有图中三角形的面积都为整数，帮四边形ABC D的面积也是整数

最小只能取2，此时

=147

故，四边形ABC D的面积最大为147。

能力和知识：

• 等底或等高三角形面积间的关系
• 等边三角形特性
• 常用的平面几何解题方法
• 整数的特性

 

三．填空题Ⅲ（每小题 12 分，共 60 分）

11. 有一列正整数，其中第 1 个数是 1，第 2 个数是 1、2 的最小公倍数，第 3 个数是 1、2、3 的最小 公倍数，……，第 n 个数是 1、2、……、n 的最小公倍数．那么这列数的前 100 个数中共有________ 个不同的值．

【分析】进行质因数分解，如果每项在之前已经出现过，则公部数就已经出现过。

所以共有36个。（注：虽然需要一个个判断，但很快）

能力和知识：

• 深刻理解公倍概念
• 分解质因数
• 数感、耐心

 

 

12. 如图，有一个固定好的正方体框架，A、B 两点各有一只电子跳蚤同时开 始跳动．已知电子跳蚤速度相同，且每歩只能沿棱跳到相邻的顶点，两 只电子跳蚤各跳了 3 歩，途中从未相遇的跳法共有________种．

http://s7/middle/001wTePuzy77InimW5836&690

【分析】第一步：当A在AB共同的面上跳时，A有两种方法，B也只有两种跳法。当A往AB不同的面上跳时，A有一种跳法，B有3种跳法。所以，总共有：

    

不管怎么跳，跳完后，AB还是处于一面的对顶角，所以还是和第一步一样的情况。

所以，每步都是7种跳法。所以，3步一共有

    

能力和知识：

• 排列组合

 

 

14. 在一个 8×8 的方格棋盘中放有 36 枚棋子，每个方格中至多放一枚棋 子，恰好使最外层所有方格中均没有棋子．规定每一步操作可选择一 枚棋子，跳过位于邻格（具有公共边的方格）的棋子进入随后的空格 中，同时拿掉被跳过的棋子（如下图所示）；若邻格中没有棋子，则不 能进行操作．那么最后在棋盘上 最少剩下________枚棋子．

所以，最后就剩2枚棋子。

能力和知识：

• 数学与游戏

 

 

 

15. 你认为本试卷中一道最佳试题是第__________题（答题范围为 01～14）； 你认为本试卷整体的难度级别是__________（最简单为"1"，最难为"9"，答题范围为 1～9）； 你认为本试卷中一道最难试题是第__________题；（答题范围为 01～14）． （所有答题范围内的作答均可得分，所有的评定都将视为本人对本试卷的有效评定，不作答或者超 出作答范围不得分．）

【分析】略。