将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置。

矩阵分解(decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，可分为三角分解、满秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇异值）分解等，常见的有三种：

1)       三角分解法 (Triangular Factorization)：

三角分解法是将原正方(square) 矩阵分解成一个上三角形矩阵　或是排列(permuted) 的上三角形矩阵和一个 下三角形矩阵，这样的分解法又称为LU分解法。它的用途主要在简化一个大矩阵的行列式值的计算过程，求 反矩阵，和求解联立方程组。不过要注意这种分解法所得到的上下三角形矩阵并非唯一，还可找到数个不同 的一对上下三角形矩阵，此两三角形矩阵相乘也会得到原矩阵。

 MATLAB以lu函数来执行lu分解法， 其语法为[L,U]=lu(A)。

2)       QR 分解法 (QR Factorization)，

QR分解法是将矩阵分解成一个正规正交矩阵与上三角形矩阵,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。
　　MATLAB以qr函数来执行QR分解法， 其语法为[Q,R]=qr(A)。

3)       奇异值分解法 (Singular Value Decompostion)。

奇异值分解 (singular value decomposition,SVD) 是另一种正交矩阵分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR 分解法要花上近十倍的计算时间。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V代表二个相互正交矩阵，而S代表一对角矩阵。 和QR分解法相同者， 原矩阵A不必为正方矩阵。使用SVD分解法的用途是解最小平方误差法和数据压缩。

　　MATLAB以svd函数来执行svd分解法， 其语法为[S,V,D]=svd(A)。

酉矩阵

酉方阵在量子力学中有着重要的应用。酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。　

一个简单的充分必要判别准则是：方阵U的共轭转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。

　　酉矩阵的相关性质：
　　设有A，B矩阵
　　（1）若A是酉矩阵，则A的逆矩阵也是酉矩阵
　　（2）若A，B是酉矩阵，则AB也是酉矩阵
　　（3）若A是酉矩阵，则|detA|=1
　　（4）A是酉矩阵的充分必要条件是，它的n个列向量是两两正交的单位向量。

矩阵相关概念：

矩阵的特征值

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

行列式

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为nxn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

矩阵的秩

　矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。

设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

矩阵的迹

设有N阶矩阵A，那么矩阵的迹就等于A的特征值的总和，也即A矩阵的主对角线元素的总和。

共轭矩阵

又称Hermite阵、埃尔米特矩阵。Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是 ai,j=a*j,i。