作者：罗莫

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         （1）

这个表达式是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。

 

也就是说常数1、2、3通过相应的四则运算就可以得到任意正整数。这个表达式体现了当偶数给定数的模数是2，奇数给定数的模数是3，且余数都是0时所得到任意解以及过渡数的并集，乃是正整数全集。也就是说可以不断被2整除的偶数同可以不断被3整除的奇数所得到的并集是正整数子集，其余皆为过渡数，非2倍数交给3整除，非3倍数交给2整除，这个过渡数恰好是该子集的补集。为什么这样的描述会同上列表达式等价呢？我们来看。

            （2）

  当模数是3时，考拉兹所描述的现象会同样发生，两个表达式实际上是等价的。

 

以下是几个实例，取任意正整数代入表达式（1）： 

n = 6 则6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 

n = 11 则11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 

n = 9 则9 → 28 → 14 → 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 

若一个数列进入1之后，再继续套用此规则，会得到一个“1 → 4 → 2 → 1 → ”的循环；另外若在某步进入某个2的次方的话，则很明显地最终一定会到1。 

此猜想已被证实直到n = 为止都是正确的，尚未找到反例。

同样，模数是3时也会出现相同的情况，取任意正整数代入表达式（2）： 

n = 6 则6 → 2 → 3  → 1 

n = 12则4 → 9 → 3  → 1 

n = 11则21→ 7 → 15  → 5 → 9 → 3  → 1 

 

考拉兹猜想的本质意义是，在元数1的基础上，仅通过借助系数2和3来进行四则运算，便足可得到任意自然数。这个问题可通过河图洛书原理来证明。

 

我们来看洛书：

4	9	2
3	5	7
8	1	6

 

这是一个横、竖、斜 线相加都等于15的一个美妙数格，它的意义不仅仅限于此，它实际上隐含了一个秘密，那就是1、2、3与所有自然数的秘密，难怪老子说3生万物了。为了感谢 角谷对此问题的研究，我把洛书四个角上的数字叫角数，中间的马鞍部分数字叫谷数。大家来看角数，逆时针旋转分别是2、4、8、6，它实际上是2不断乘以2 得到的所有自然数的个位数，再来看谷数，顺时针旋转分别是3、9、7，1，它实际上是3不断乘以3得到的所有自然数的个位数。中央数5和0可以由1和2相 除得到，1和3相除得到3，已经在谷数中具备，当把1看成奇数时，1除以2可得到5，当把1看成偶数时即10时，2乘以5得到10，即尾数0，1除以3则可不断得到尾数3，1可以通过2或3自除得到，可见在生成10进制自然数尾数的时候，通过自除自乘就可以得到任意自然数的尾数了， 这是数字产生的最基本规则。我们知道10进制的自然数就能够进行可穷分类为10大类，它们的个位数分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，任意自 然数通过四则运算可以得到最基础数1、2、3，考拉兹猜想描述了任意10进制数与这三个数的关系，而洛书原理恰恰表达了，2和3以自乘自除的方式就足以得到10进制的所有个位数。重复相乘相除一个数是自数，或者说，首项是比数的等比数列叫自数；重复相减相加一个数是邻数，或者说，首项是差数的等差数列叫邻数。自然数集就是1邻数，梅森素数就是首个可紧致区分的素数幂次方自数和首个可紧致识别的邻数之结合体。

我们再来看河图：

		6
		1
9	4	5 、10	3	8
		2
		7

 

 

 

 

 

 

看得出来洛书是一个求多维空间数的口诀图，而河图则是一个求一维空间数的口诀图，它以螺旋的方式存在，绕过了多维空间的特征，却包含了多维空间的特征，一维空间即低维空间之所以比多维空间即高维空间重要，是因为先天空间必后天空间重要。河 图是一个以1单位为间距的等差数列，洛书的螺旋方式则不是这样，河图是单螺旋，洛书则是双螺旋，一个顺时针一个逆时针，洛书以2和3为规则数，通过自乘获 得的不同个位数逆旋和顺旋，来体现多维空间数的秘密，河图的对等相加都是素数，相邻相加也是素数，17以内所有的素数都可以通过有规则的相加获得。因此它 是揭示纯一维空间秘密的，洛书是一个螺旋开放的同心圆，并且她的直径等于15。河图则是开放的5进制的非同心圆螺旋图。

 

而洛书原理已经直观表达出了，仅仅用2与3参与的四则运算（自乘）就足以得到所有自然数，1当然也可以通过四则运算就足以得到全部自然数（自加），河图描述的就是这一现象，因此加减运算是河图，乘除运算是洛书，而考拉兹猜想的表达式，正是把2与3作为系数描述的，因此是乘除关系的表达式，它可以得到可穷分类的10类数，因此n可满足所有的自然数。考拉兹猜想的表达式

可见除了用洛书原理证明是成立的外，用可穷分类和交集运算的方法，也可证明考拉兹猜想是成立的。很多人用复杂的枚举证明企图来证明考拉兹，这是吃力不见功效的一件事情，只有从元数出发，得出必然结果，才算是真正的证明。

 

看官不难看出，考拉兹猜想是哥德巴赫猜想的一个浅层次表达，哥德巴赫猜想是用两个素数相加得到偶数，三个素数相加得到奇数，考拉兹猜想是用系数因子2与其他因子得到偶数，用系数因子3与其他因子得到奇数，用算数平 均数因子抹平了素数的区别，这个因子相当于是素数个数的平均值，故用哥德巴赫猜想是可以证明考拉兹猜想成立的，但逆运算似乎不能，因为哥德巴赫猜想相对来 说是强判断，考拉兹猜想相对来说是个弱判断。有一点毋庸置疑，它们都跟2和3相关。是最接近哥德巴赫猜想的一个弱判断，孪生素数猜想则是一个比哥德巴赫猜 想更强势的判断，只有证明一个更强势的猜想，才能陆续证明相对弱势的猜想。我们终于发现不相邻原理（见本人所完成的另一个纯数学证明《不相邻原理破解了哥德巴赫猜想》），这个强势判断，并用更强大的公理证明了它。考拉兹猜想是一个从2和3出发就能完成的证明，可是哥德巴赫猜想不是，它是一个必须从1出发才能完成的证明，考拉兹猜想可以不借助于不相邻原理，就能完成该证明。

 

下面用纯数学表达式，严谨证明一次。

证明：因为自然数集f（n）=｛2n+0｝Ｕ｛2n+1｝；

                   f（n）=｛3n+0｝Ｕ｛3n+1｝Ｕ｛3n+2｝；

 所以，当｛3n+1｝是偶数的话，｛3n+0｝与｛3n+2｝必是奇数，即它的正整数补集是奇数；相反，当｛3n+1｝是奇数的话，｛3n+0｝与｛3n+2｝必是偶数，即它的正整数补集是偶数；

可 见，任意奇数，要么是｛3n+1｝，要么是｛3n+1｝为偶数时，它的正整数补集，这个补集至少包含｛3n+1｝为奇数时的奇数补集；任意偶数，要么是 ｛3n+1｝，要么是｛3n+1｝为奇数时，它的正整数补集，这个补集至少包含｛3n+1｝为偶数时的偶数补集。到此，一切顺利。

     

 这里接着介绍一个特殊的偶数集，即2的n次方。这个偶数集可以不断被2整除，      所获得的商继续用2整除，最后获得整除的商一定会是1。因为2n是一个由无数因子2构成的偶数。这个偶数集是全部偶数的一个子集。

 

｛2n｝∈｛2n｝。即2的n次方是偶数的一个子集。也就是说｛2n｝∩｛2n｝=｛2n｝

当x为奇数时，｛3x+1｝∈｛2n｝；当x为偶数时，｛3x+1｝的正整数补集∈｛2n｝。所以，“x为奇数时的｛3x+1｝”Ｕ“ x为偶数时的｛｛3x+0｝Ｕ｛3x+2｝｝”=｛2n｝

     由于“｛2n｝∩ （x为奇数时的｛3x+1｝|”Ｕ “x为偶数时的｛｛3x+0｝Ｕ｛3x+2｝｝）”= ｛2n｝

 

 当x为偶数时的｛3x+0｝Ｕ｛3x+2｝）与｛2n｝所得到的交集，可使考拉兹表达式成立。当x为奇数时的｛3x+1｝与｛2n｝所得到的交集，也可使考拉兹表达式成立。

 

当x为奇数时，模数为3的分类数中，所有的偶数都在3x+0和3x+2中.

由于偶数集3x+0和3x+2可分为纯2因子的偶数｛2n｝和非纯2因子的偶数两大类。非纯2因子的偶数，当把2因子除尽后，必得到奇数，且可得到奇数全集，试遍所有的偶数除了得到纯2因子偶数｛2n｝外，剩下的全部奇数商，则参与到了3x+1的新生成数中去。

当x为奇数时，模数为3的分类数中，所有的偶数都在3x+1中。

由于偶数集3x+1可分为纯2因子的偶数｛2n｝和非纯2因子的偶数两大类。非纯2因子的偶数，当把2因子除尽后，必得到奇数，且可得到奇数全集，试遍所有的偶数除了得到纯2因子偶数｛2n｝外，剩下的新的全部奇数商，则继续参与到了3x+1的新生成数中去。

 

当奇数x不断变化不断递增时，偶数3x+1也必定是新的，只要持续可产生新数，则必能囊括所有的非2自数，且有一一映射的偶数，那么3x+1是否一定有数属于偶数｛2n｝中？若存在，那么考拉兹猜想将获得证明。因为3x+1与偶数｛2n｝要么有交集，要么产生了新偶数，有新偶数参与才会得到新奇数反馈给3x+1.

 

3x+1随着新奇数的参与会产生新偶数的证明，比较简单，因为3x+1是一个一一映射表达式。现用归谬法证明3x+1与偶数｛2n｝不存在交集（含无限元素）的命题是荒谬的。

 

若｛3x+1｝与｛2n｝没有交集（含无限元素），那么｛2n｝同｛3x+0｝Ｕ｛3x+2｝就必有交集，因为｛3x+1｝Ｕ｛3x+0｝Ｕ｛3x+2｝为正整数全集。交集｛2n｝的一个子集不落在｛3x+1｝上，就一定落在｛3x+0｝Ｕ｛3x+2｝上。

当x为偶数时，｛3x+1｝与｛2n｝确没有交集｛2n｝，与正整数的交集落在｛3x+0｝Ｕ｛3x+2｝上。

当x为奇数时，与正整数的交集｛2n｝的一个子集不可能落在｛3x+0｝Ｕ｛3x+2｝上。如果还不能落在偶数集｛3x+1｝上，则｛3x+1｝Ｕ｛3x+0｝Ｕ｛3x+2｝就非正整数全集。

是不是交集｛2n｝的一个子集都在x为偶数时候的｛3x+0｝Ｕ｛3x+2｝中了呢？

我们来看｛3x+0｝Ｕ｛3x+2｝可表示成，｛3（x－1）+0｝Ｕ｛3（x－1）+1｝

｛3（x－1）+1｝就是一个x为奇数时候的偶数，因此交集也不能落在偶数时候的｛3x+2｝上，那是不是就一定落在了x为偶数时候的｛3x+0｝上呢？显然更不是，因为｛3x+0｝有因子3存在，不可能是纯2因子偶数｛2n｝。

由此得到，若｛3x+1｝与｛2n｝没有交集｛2n｝的子集，那么纯2因子偶数集｛2n｝与正整数集合｛3x+0｝Ｕ｛3x+1｝Ｕ｛3x+2｝就没有交集｛2n｝的子集。这与纯2因子偶数集｛2n｝与正整数集合一定有交集即｛2n｝的一个子集相矛盾。

由此反证出，｛3x+1｝与｛2n｝没有交集｛2n｝是错误的，那么｛3x+1｝与｛2n｝必存在交集｛2n｝就是正确的。也就是说，｛3x+1｝存在着不断递增的纯2因子偶数2n的子集。随着奇数的增长变换，总能不断发现，有新增偶数是纯2因子偶数。

 

还可以证明这个交集即｛2n｝的子集是无限的，因为若交集即｛2n｝的一个子集是有限的，那么3x+1中的x就为一个定值，大于这个定值的3x+1就没有纯2因子偶数，用一个反例即可证明。这个交集是2n的一个子集。2n-1必存在3倍数，刚已证明。即2n-1=3x，当交集为定值时，x就一定为定值，这与x的定义相矛盾，x可为任意奇数。

 

同 时，当交集为定值时，其他纯2因子的的偶数，不可能在3x+0中产生，也不可能在当x为偶数时候的3x+2中产生，因为3x+2=3（x+1）-1，一旦 当x为奇数时候3x+1不能产生更多的纯2因子偶数时，当x为奇数的3x+1产生不了全部纯2因子偶数时，x为偶数的3x+2也产生不了全部纯2因子偶 数，因为3x+2可表达成3乘以(x+1)+1。

 

当x仍然为偶数时，｛3（x+1）+1｝产生不了全部纯2因子偶数，当x为奇数时，｛3x+1｝被假设为定值，产生不了纯2因子偶数，因此若这个交集即｛2n｝的子集是有限的话，那么｛3x+0｝Ｕ｛3x+1｝Ｕ｛3x+2｝就无法得到正整数全集，因为该交集在｛2n｝上补集没有体现出来。因此这个交集必然是无限的。

 

既然存在这个交集，又是无限的，无漏的，所以当3x+1随着奇数的变换递增，必有纯2因子偶数与之映射，因为既然3x+0与｛2n｝是紧致的自然数相邻关系，故其差数为1，纯2因子偶数与3x+1就必有对应，即满足2整除最后商数递归为一。所有的奇数都在参与3x+1产生新偶数的程序中，所有的｛2n｝的补集偶数都在参与x/2产生新奇数的程序中，直到抵达｛2n｝，最后获得能够被2连续整除，商数递归为一。

这就是考拉兹猜想的完整证明。我们的祖先用河图洛书来证明，就非常简单了。模数为10的正整数集，进行可穷分类，可得到10a+1，10b+2，10c +3，10d+4，10f+5，10g+6，10h+7，10i+8，10j+9，10k+0等10类数。然后结合中国剩余定理就可得到模数2与模数3的转换了。而2自数和3自数合起来恰好囊括了所有的10进制个位数的10类数。加上1邻数的密集筛选，要么在递增的过渡数中，要么在非此即彼的自数中。考拉兹猜想的本质是，2自数与奇尾自数之间是等差为1的相邻关系，洛书正好显示了这一点。2自数与奇尾自数的并集正好可以得到全部10进制自然数尾数的10类数，只有等差为1的相邻关系，才具有这种紧致互补关系。

 

 

2个2个一数，尾数一定会得到2、4、6、8；3个3个一数，尾数一定会得到3、9、7、1；分别对应洛书的角数和谷数，一个顺时针一个逆时针。这种2个2个一数同3个3个一数恰好对应模数为2与模数为3的数进制转换，而尾数为0为5的数，又恰在模数为10以及模数为15的数进制里。2和5结合可得到洛书里的10个尾数，3和5结合可得到洛书里的横竖斜相等的直径数15。模数为10的数，其尾数是0，模数为15的数，其尾数为5。这些尾数已经被洛书可穷分类了。

 

于是才有了一切10模数的数，要么是2倍数，要么是3倍数。这就是考拉兹猜想的洛书原理表达。哥德巴赫猜想的表达则是，一切10模数的数，要么是2素数之和得到偶数，要么是3素数之和得到奇数。2个2个一数得到自数，且自数的尾数是2、4、6、8，3个3个一数得到自数，且自数的尾数是3、9、7、1，最后2自除得1，1除以2，得到0.5，即尾数为小数点后数5，而2乘以5尾数得0。可见0和5都是2的自数所得到的尾数。3自除得1，1除以3，得到0，3333……，即小数点后的尾数数3。这种除本数外不通过其他数用乘除运算求得的新数，叫自数。可见2和3的自数可得到10模数的所有尾数类型数。

 

重复相乘相除一个数是自数，或者说，首项是比数的等比数列叫自数；重复相减相加一个数是邻数，或者说，首项是差数的等差数列叫邻数。自然数集就是1邻数，梅森素数就是首个可紧致区分的自数和首个可紧致识别的邻数之结合体。首自数一定是素数，1是首自数，因而是特殊的素数，｛1n｝则不是素数，因而不用担心1会分解出无穷个素数，1≠｛1n｝，至于现代数学作相等认知，那是取近似意，｛1n｝是1的自数集，｛2n｝是首个可紧致区分的2的自数集，｛n｝是1的邻数集，邻数体现相邻性，自数体现分类性，相邻体现序数的一面，自数体现基数的一面。邻数为先天数，自数为后天数。这里之所以介绍这些概念，为以后理解哥德巴赫猜想的证明做基础。邻数一定是自数和混合自数，但自数不一定是邻数。1邻数筛选完混合自数以及非自数，剩下的就是素数。素数是1邻数的合数补集，是非合数中的重自数补集，素数是1邻数中出现的单位分类数，是先有邻后有类。素数类型不孤则必有自然数密集相邻。偶数是1邻数的两倍，而1邻数是可以产生素数的，故偶数可由两个素数相加得到。这就是哥德巴赫猜想可以成立的宏观根据，具体证明另述。同样自数概念也给考拉兹猜想的证明提供了依据。

这 个欧拉连和连积公式，就提供了自数的连积和邻数的连和关系。这是相邻关系和度量关系密切联系的极致表达。说明了自数和邻数有交集关系。这是一个重要的表达 式，其思路来自筛法，黎曼猜想源于此。这个复杂的等式成立，其实来自更简单的等式关系。邻数和自数的交集，还可以如何得到呢？经过分析还可以通过“罗莫等 差等比公式”得到，由于1的邻数是紧致的自然数，而2和3的自数个位数之并集，可得到10进制自然数的所有个位数之类数，因此2自数和3自数就必有等差1的相邻关系，因此必存在以下等式：

 即  2 n  —3 m = 1  （n、m为自然数，考拉兹猜想可由此简洁推导证明），进而可以推广得到，2 n  — P m = 1  （n、m为自然数，P为素数）P m =2 n — 1  （当m等于1时，n为素数时，P就是梅森素数）。

因此自数与非自数并在一起，就提供了所有正整数数集，而这正是考拉兹猜想的表达。 由此考拉兹猜想，可得到洛书原理的证明。

   

    

    模数2的自数同模数3的自数所得到的并集以及加上紧致过度数可得到自然数全集。即给定任意正整数都可满足考拉兹表达式。

 

哥 德巴赫猜想则比较复杂，要动用一个强势判断，自创的数学工具——不相邻原理，方可证明，这里暂且不表。考拉兹猜想获得证明，能给现代数学的发展带来哪些积 极的意义呢？常听有人问，它有什么用呢？这显然是在关心应用数学，对纯数学还比较陌生，但凡纯数学都是应用数学，但应用数学则难以进入纯数学。这么打个比 方吧。纯数学就相当于帮助孩子去寻找他们失散的父母，应用数学就相当于帮助父母去寻找他们失散的孩子。一个是去发现根本价值，一个是去发现支系价值。欧几 里德给学生上课，有学生问学这些几何有什么用呢？欧几里德跟他的助教说，给这个学生三两黄金吧，若不给的话，看样子是不愿意听课了。这个段子说明又有多少 人更懂得珍惜根本价值呢！

 

那 考拉兹猜想的证明价值在哪里呢？首先，它明确了邻数和自数的关系，邻数的梦想成真和自数的无情证伪是数学发展的奖惩制度，归谬法若不建立在有先天正确的信 仰上，归谬的意义则没有根基。打假若不建立在正确的信仰根性上，无异于自掘坟墓。不具备扶持真性的批评，等同于无意参与了作恶。密集相邻生成的自然数，给 内心世界和外在宇宙提供了无限可能，而具分类功能的自数则给我们设置了宇宙和心灵的认知结界和层次次第。邻数和自数的关系解码，将为计算机的发展提供美妙 的前景。我们知道数论是密码学的深层引路人。

 

其 次，考拉兹猜想的破解，为理解哥德巴赫猜想的证明，提供了中间过渡路径。理解哥德巴赫猜想的证明，比较吃力。然而有了考拉兹猜想的证明，则等于架设了一个 通往哥德巴赫猜想证明的桥梁。我坚信，凡理解了考拉兹猜想证明的看官，一定会对用不相邻原理证明哥德巴赫猜想发生浓厚的兴趣，这也是本人先推出考拉兹猜想 证明，后推出哥德巴赫猜想证明的用意所在。

 

最 后要讲的一个重大收获是，现代数学的发展，要向古代东方世界杰出文明成果易经学习，河图洛书的美妙发现，给现代数学的启示是震撼性的，现代科学的发展，其 领头羊是数学，而数学发展的引擎，是数论，数论发展的源泉，则是古代易经思想。尽管有些数学家认为，不能用易经类比思维，来推论数学原理，可易经的可穷分 类和交集核心正确的公理信仰是美妙的，尤其是易经的交集思想（根思想），光辉灿烂，那不是有你没我的交集，而是可公平分享的交集。比如说交集圆心，不是说 圆心O做了半径AO的端点，就不能做半径BO的端点，圆心O由无数重叠的点构成，此处不违反排中律。可见易经不仅限于类比推理，也有可穷分类归纳和可穷分类归谬，其间贯穿着演绎推理，更是显而易见。因而用来发展现代数学，即没有迷信，也没有偏离纯数学的发展方向。（End）