虽然之前也看到过所谓卡丹公式，其实内心还是有些忐忑，只是知道用那个解法是可以的。

最近，看了一些文章，有点明白应该如何解决了。

考虑一般的一元三次方程 x^3+ax^2+bx+c=0，首先通过转换，很容易通过 (x + a/3) 转化成 x^3+ax+b=0 的形式。

其次，在 a 是 0 的时候，问题很简单，容易得到实数解。

在 a 不是 0 的时候，

方法1: 如果按照卡丹公式的方法，是定义 x=p+q，然后令 p^3+q^3+b=0 且 3pq+a=0，然后求解。

方法2: 这种时候，其实总是可以把方程转化成 4x^3+3x=t 或者 4x^3-3x=t 的形式的。

a) 对于 4x^3-3x=t 的情况，熟悉三角函数的人可以令 x=cos a 得到 cos (3a) = t，所以，如果 t 的绝对值不大于 1，问题就可以解出来了。当然，如果个人喜欢，使用 sin (3a) 的公式也是可以的。

b) 对于 4x^3-3x=t 的情况，对于 t 的绝对值大于 1 的时候，取 2x=u+1/u，可以得到 u^3 的一个一元二次方程, 2t=u^3+1/u^3，所以也可以解了。

c) 对于 4x^3+3x=t 的情况，貌似没有三角函数可以使用，不过，我们总是可以使用 2x=u-1/u 进行处理，得到 2t=u^3-1/u^3，可以解出 u^3 的实数解。 

个人觉得，方法一的优点是，简单，就这一条路，缺点是，会碰到复数问题，会显得比较困难一些。方法二的优点是，只是需要三角函数和一元二次方程会求解，就可以懂，缺点是，分类相对多一些。

补充写一个实际的例子：x^3-3x^2-3x-1=0

第一步，通过替换：t=x-1 可以得到 t^3-6t-6=0

第二步，通过替换：t=2 sqrt(2) y，可以得到 4y^3-3y=3 sqrt(2) / 4>1

第三步，采用变换：2y=u+1/u，可以得到方程 u^3+1/u^3=3 sqrt(2) / 2，求解可以得到 u^3=sqrt(2) 或者 sqrt(1/2)

第四步，反推 x=1+2^{1/3}+2^{2/3}.