1.6  关于讨价还价博弈的数学模型

鲁宾斯坦1982年关于讨价还价模型论文的发表,应该说是讨价还价博弈理论发展史上的一块里程碑。鲁宾斯坦讨价还价模型的主要思想来自于斯塔尔(Stahl)更早的在10年前就已经提出了,尽管如此，鲁宾斯坦对无限次讨价还价问题的成功分析,还是大大推进了讨价还价博弈理论的进展。

斯塔尔—鲁宾斯坦模型的基本情形是, 假如两个人要分一块蛋糕, 博弈者1 将分得蛋糕的x 份额(x ≥0) , 博弈者2 将得到1 - x 的份额(1 - x≥0)。在此安排下, 按照鲁宾斯坦讨价还价博弈模型, 两个博弈者进行轮流出价。首先, 博弈者1 提出一个划分方法(x , 1 - x) , 博弈者2 可以接受或拒绝这个提议, 如果他接受了, 则博弈结束, 他们按照这种划分去切割蛋糕; 如果博弈者2 拒绝这个提议, 那么他会提出一个划分方法(y , 1 - y) , 博弈者1 可以接受或者拒绝, 博弈过程将按这个方式持续进行下去, 直到他们达成方法(x , 1 - x) , 博弈者2可以接受或拒绝这个提议, 如果他接受了, 则博弈结束, 他们按照这种划分去切割蛋糕; 如果博弈者2拒绝这个提议, 那么他会提出一个划分方法(y , 1 - y) , 博弈者1可以接受或者拒绝, 博弈过程将按这个方式持续进行下去, 直到他们达成一个协议。若他们最终没有达成协议，那么他们什么也得不到。假设这些博弈者没有耐心，每当协议拖延时，他们的得以后又一个折扣（贴现），博弈者的贴现因子由http://s9/middle/53757beft835c87347e28&690 关于讨价还价博弈的数学模型" TITLE="11.1.6  关于讨价还价博弈的数学模型" />。这种折扣代表了讨价还价的成本。在其他条件相同的条件下，对于参与者而言，达成一个协议的时间越长，蛋糕就会越小。鲁宾斯坦在这篇经典文章中证明，有时间贴现因子（discount factor ）的讨价还价博弈会有唯一的子博弈精练均衡：http://s3/middle/53757beft835c8adf0d32&690 关于讨价还价博弈的数学模型" TITLE="11.1.6  关于讨价还价博弈的数学模型" />
。很显然，这一结果是不对称的，因为不同的博弈者有不同的贴现率，并且博弈者会有先行者优势。沿着这一思路，鲁宾斯坦1982年进一步发现，如果假定http://s4/middle/53757beft835c9355d303&690 关于讨价还价博弈的数学模型" TITLE="11.1.6  关于讨价还价博弈的数学模型" />。

然而，这样的博弈安排中仍然会有先行者优势。现在，假设通过缩短相继的讨价还价回合中的时间间隔，使讨价还价过程加速。当每一期的时间长度变得无限小，先行者有时就会消失。例如，以http://s3/middle/53757beft835cb59f8d82&690 关于讨价还价博弈的数学模型" TITLE="11.1.6  关于讨价还价博弈的数学模型" />，然后就可以很容易得出，讨价还价博弈的均衡解会趋于（1/2，1/2）解（对称的讨价还价解）。

不难看出，讨价还价最理想的结果是：蛋糕分为两半，每个人1/2。但是，由于时间贴现因子的存在，整个蛋糕可能会因为迟迟达不成协议而缩小，整个蛋糕变为1/2或者更小，甚至为0；双方各自1/2；或者在任意时间各自获取1/2（哪怕当时蛋糕再小），这种可能性很大程度存在，实际上是蛋糕再好，双方谁也得不到。“在轮流出价的博弈中，如果参与人不想接受任一特定出价，而是相反，想给出一个还价，则她有自由这么做，但这必然招致一个‘成本’：就是她等待时间的单位成本。她的贴现率越小，这一成本就越小。这就是为什么相对更有耐心的参与人会有更强的讨价还价力。”③

参考资料：③讨价还价理论及其应用  [英]阿伯西内.穆素 管毅平 郑丹秋译 第38页  

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