问题线索：“为什么6的1/2用6×1/2？”       100302

在进行分数应用题的教学中，关于此问题，一直是隐性问题存在我的心中，也便存在学生的心中。

虽然学生会已能解决一些分数应用题，但是把对于分数应用题的理解追根溯源到分数的意义之后（把“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份），发现学生虽然能够说出，但还是不理解。

理解分数应用题的起点到底在哪里呢？翻开北师大版五数下的教材，在“分数乘法”这一节中，可以看到以“我（指淘气）的苹果数是小红的1/2”“我有6个苹果”，问：淘气有多少个苹果？这个主题图情境出来，来理解6的1/2即是6×1/2是解决分数乘法意义的关键所在。

从主题图的情境中可以看到，6的1/2可以有两种理解方式：（1）表示把6个苹果平均分成2份，取其中的一份即是3个；（2）表示把一个苹果平均分成两份，其中的一份表示为1/2，6个1/2是3个苹果，6个1/2可以列式为6×1/2。

从小红的1/2——6的1/2——6个1/2——6×1/2，这样一个角度并借助于图片来理解，是不是说就可以自然引导学生实现“求一个数的几分之几”用“一个数乘几分之几”的过渡呢？

如何在课堂上引导学生实现这样的理解呢？根据这个问题，我们在教研组进行了一些交流。并对一些问题引起了争论：

1是不是可以把“小红的1/2改为小红的1/ 4”？

缘起：小红的1/2即6个苹果的1/2，学生很容易口算出是3 个苹果。学生在口算出3个苹果这个结果之后，很难再进行意义的思考。

改变初衷：把小红的1/2改为1/4后，可以引导学生对于意义的直接关注。

质疑：（1）教材这样设计是不是就是借助于学生的经验（能够很容易想出结果是3个苹果），而把重点放于意义的理解呢？

（2）这样的设计会使教材的设计目标缺失些什么？

讨论：（1）教材的主题情境图还有什么隐含的意义呢？

（2）如果把1/2改为1/4进行教学会出现什么情况呢？

讨论结果：

（1）教材的主题情境图不仅有着帮助于学生理解如6的1/2用6÷2，还可以用6×1/2表示；另外还与后面的分数除法“除以一个数就等于乘以一个数的倒数”这一意义有一定的渗透作用。

（2）可以在两个班进行一下尝试。一个班用教材上的原始数据（1/2），一个班用6的1/4，看看两个班学生的情况如何？

2学生会不会想到6个1/2这种理解方式呢？如果想不到的话，该如何引导呢？

讨论：（1）估计学生想不到；（2）如果学生想不到可以在黑板上图示出1个苹果的1/2，然后涂色，再画出6个1/2，让学生理解。

按照“小红的1/2”与“小红的1/4”两种设想进行教学出现的情况如下 ：

（1）小红的1/2：学生能想到把一个苹果平均分成两份，每份是3个苹果，想不到把一个苹果平均分成两份，有6个苹果，即6个1/2。老师在黑板上图示后，学生基本理解。

（2）小红的1/4：学生看到这个题目以后，先开始不知道如何是好，然后，有几个优秀的学生想到把苹果看作饼平均分成4份，每份是1/4，6个苹果，就是6个1/4。当老师按照五年级上期已学过的“分饼”进行提示后，大部分学生理解了6的1/4表示6个1/4用6×1/4的意义。

   初试教学后的思考：学生真的就理解了6的1/2用6×1/2吗？怎样引导学生实现进一步的理解呢？

从教材可以看出在下一节课《分数乘法（三）》里，不仅有着对于分数乘分数的计算学习，同时，还有着对于一个数乘分数意义的进一步理解。下面的一节课主要借助于图示与操作可以加强学生对分数乘法意义的理解，但是在《分数乘法（二）》这节课教学之后，是不是可以做一些练习加强学生的理解呢？

于是我们进行了下面的设计，试图引导学生通过画图来理解：

http://s8/middle/5366cecet80f10a065747&690

教法设想：（1）先让学生说一说，然后跟着老师一起画一画；

（2）自己根据题意，想一想还可以怎么画图；

（3）试着用图表示9的1/3，并列式。

这样的教学设计会产生什么样的效果还存在哪些问题呢？以待后观。

***不同教材的对比与张丹教授的说法

******教参中的提示与启示

****后续教材〈〈分数乘法（三）〉〉的设计在分数乘法中的作用

***《分数除法》（二）与（三）对于分数乘法的意义与作用，学生的情况调研

问题聚焦：

1如何分析数量关系？2如何列数量关系式？3怎样画线段图？

我的问题：

1学生为什么不能理解分数乘法的意义？

（一）学生不能分数乘法的意义的直接原因便是对分数意义的理解断层。个人认为有以下几个问题：

（1）学习时的直观性与应用时的抽象性；如三数学习与五数上学习分数时，多是借助于直观的图片让学生理解整体“1”可以是一个物体，或是一群物体或量；以此来理解部分与整体之间的关系之时，多是以理解分数的表示意义的形式，而在六数分数的问题解决时，不仅需要在整体与部分之间进行来回的转换具有一定的思考难度，还没有直观的图片作为理解的支撑，需要对文字所表达意义的想象与理解，所以对于学生来说有一定的难度。

（2）三数、五数教学时关于分数的意义难以到位；

分数的意义其实与比的意义是一样的，是表示两个数关系的一种数，相同量相比表示的两个量之间的倍数关系；不同量相比表示的产生一种新的量。虽然学生学习过分数，但是，具体到进行每节课的教学时，因为每节课教学目标非常具体、明确，所以这一意义很难揭示出并让学生体会出来。结果，使学生对于分数的理解，常常停留在一些直观的分圆等图的基础上，未能实现借助于图的思考对分数的意义进行抽象理解的水平。

（3）带单位名称的分数与不带单位名称的分数有什么区别？

带单位名称的分数与整数小数的意义相同，不带单位名称的分数表示的是两个量之间的比较关系。但是，在学生那里常常被这样的双层意义产生干扰，从而对于分数意义的理解很模糊。

（二）教学中的忽略

主要表现为在五数下的课本“分数乘法”这一节中，可以看到以“我（指淘气）的苹果数是小红的1/2”“我有6个苹果”，问：淘气有多少个苹果？这个主题图情境出来，来理解6的1/2即是6×1/2是解决分数乘法意义的关键所在。

但是教材只是把两种思考作为一种理解出现，有着把6的1/2看作6个1/2，和6÷2×1的设想。

这样的设想对于学生理解分数乘法的意义（求一个数的几分之几是多少？用乘法）有一个明显的过渡，这过渡却与整数乘分数的意义相结合，具有一定的隐蔽性，不 易为老师与学生所重视，容易造成在后面第三单元“分数除法”问题解决时，难以用方程来准确列式解答的问题。

关于务实校长所提供案例的思考：

务实校长借助于分数除法的意义“已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数用除法”来理解分数除法的意义。这样的引导之下，可以把分数置于数的大范围之下来理解分数与整、小数有着相同的特点，是不是也存在着把分数简单地等同于整数、小数，而忽略分数本身关于倍比的意义的嫌疑呢？

务实校长的案例提供中接着想不去，小数意义是什么？整数的意义又是什么？学生在四年级的数学认识小数的学习中不是已经把把小数与分数结合在一起来认识了吗？也就是说，在四数的学习中关于分数（十分之几、百分之几、千分之几---）是不是也是对分数的意义有一个进一步的理解呢？

如果说是的话，那么，学生对于分数的认识经验，对于分数意义的理解就可能在五年级数学上学期学习时借助于十分之几、百分之几、千分之几---这样的意义进行几分之几的过渡呢？

教材中实现这样的过渡了吗？翻开教材可以发现，有这样的过渡，“分数的再认识”与“分数与除法”两节其实已经进行了这样的延伸，那么问题又在哪里呢？是不是存在着分数各部分知识之间的断裂而造成了学生对于分数意义的理解困难呢？还可能有什么原因呢？

参考：武秀华老师关于分数意义的教学与研究资料。