第50届国际数学奥赛

一．第50届IMO试题

第一天
1. n 是一个正整数，设 a[1],a[2],...,a[k] (k≥2) 是 k 个不同的属于 {1,2,...,n} 的正整数，满足 n 整除 a(a[i+1]-1) 对任意 i=1,2,...,k-1 成立。
证明：n 不整除 a[k](a[1]-1)。
2. 设三角形 ABC 的外心为 O 。点 P,Q 分别是线段 CA,AB 上的点。设 K,L,M 分别是线段 BP,CQ,PQ 的中点。
如果直线 PQ 与 三角形 KLM 的外接圆相切，证明 OP=OQ 。
3. 设 s[1],s[2],s[3],...... 是一个严格单调递增的正整数数列，满足其子数列 s[s[1]],s[s[2]],s[s[3]],...... 和 s[s[1]+1],s[s[2]+1],s[s[3]+1],...... 都是等差数列。
证明数列s[1],s[2],s[3],......也是一个等差数列。

第二天
4. 在三角形 ABC 中， AB=AC ， ∠CAB 和 ∠CBA 的角平分线分别交 BC,AC 于点 D,E 。
设 K 是三角形 ACD 的内心， ∠BEK=45° ，求 ∠BAC 。
5. 求所有正整数集到正整数集的映射 f ，满足对任意正整数 a,b ，
存在一个非退化的三角形其三边长为 a,f(b),f(b+f(a)-1) 。
6. 设 a[1],...,a[n] 是 n 个互不相同的正整数， M 是一个不包含 s=a[1]+a[2]+...+a[n] 的 n-1 元正整数集。
一只蚱蜢在实轴上跳跃，它从 0 点开始，向右跳跃 n 次，其长度为 a[1],a[2],...,a[n] 的一个排列。
证明：存在一种跳法，使得蚱蜢不落在任何一个 M 中的点上。

二．2009年第50届国际数学奥林匹克IMO试题由以下国家提供
第1题由澳大利亚Ross Atkins供题
第2题由俄罗斯Sergei Berlov供题
第3题由美国Gabriel Carroll供题
第4题由比利时Jan Vonk, 比利时Peter Vandendriessche, 韩国Hojoo Lee共同提供
第5题由法国Bruno Le Floch供题
第6题由俄罗斯Dmitry Khramtsov供题

三.总分前20名如下：
1、中国国家队221分，6金；
2、日本代表队212分，5金1铜；
3、俄罗斯代表队203分，5金1银；
4、韩国代表队188分，3金3银；
5、朝鲜代表队183分，3金2银1铜；
6、美国代表队183分，2金4银；
7、泰国代表队181分，1金5银；
8、土耳其代表队177分，2金4银；
9、德国代表队171分，1金4银1铜；
10、白俄罗斯代表队167分，1金4银1铜；
11、中国台湾代表队165分，1金5银；
11、意大利代表队165分，2金2银2铜；
13、罗马尼亚代表队163分，2金2银2铜；
14、乌克兰代表队162分，3金1银2铜；
15、越南代表队161分，2金2银2铜；
15、伊朗代表队161分，1金4银1铜；
17、巴西代表队160分，1金3银2铜；
18、加拿大代表队158分，1金3银2铜；
19、英国代表队157分，1金3银2铜；
19、保加利亚代表队157分，1金3银2铜；
20、匈牙利代表队157分，1金2银3铜。

四.本届IMO共有104个代表队参加，参赛选手565人，其中女生59人。

49人获得金牌，金牌分数线为32分；
98人获得银牌，银牌分数线为24分；
135人获得铜牌，铜牌分数线为14分；
96人获得荣誉奖：至少完整答对一道题。

五.

（东道主德国队16岁女生Lisa Sauermann以41分获得金牌，她是第三次参赛IMO（2007IMO银牌，2008IMO金牌）。上图是德国队成员，最右边一位是领队，另六位是参赛选手。）

六.中国国家队各队员分数一览
（8个数据依次为六道题目得分，总得分，全体参赛选手排名）
韦东奕7－7－7－7－7－7－42－1金牌（山东师大附中）
郑  凡7－7－7－7－7－0－35－14金牌（上海中学）
黄骄阳7－7－7－7－7－1－36－12金牌（四川成都七中）
郑志伟7－7－7－7－7－0－35－14金牌（浙江乐清乐成公立寄宿学校）
赵彦霖7－7－7－7－7－3－38－8金牌（吉林长春东北师大附中）
林  博7－7－7－7－7－0－35－14金牌（北京人大附中）
总分以221分名列各参赛代表队第一名

中国台湾队各队员分数一览
（8个数据依次为六道题目得分，总得分，全体参赛选手排名）
王新博Hsin-Po Wang7－7－1－7－7－4－33－37金牌（建国中学）
王建诒Chien-Yi Wang7－7－1－6－7－0－28－83银牌（台中一中）
吴易展Yi-Chan Wu7－3－0－7－7－0－24－130银牌（高雄中学）
童宇凡Yu-Fan Tung7－7－1－5－7－0－27－101银牌（武陵高中）
杨镇宇Chen-Yu Yang7－7－1－3－7－0－25－117银牌（建国中学）
谢汉林Han Lin Hsieh7－7－0－7－7－0－28－83银牌（高雄中学）

 总分以165分名列各参赛代表队第11名

中国香港队各队员分数一览
（8个数据依次为六道题目得分，总得分，全体参赛选手排名）
程德永Tak Wing Ching，7－7－7－7－7－0－35－14，金牌（皇仁书院）
林楚皓Cho Ho Lam，7－6－1－7－7－0－28－83，银牌（顺德联谊总会李兆基中学）
吴艺峰Ngai Fung Ng，1－7－0－5－1－0－14－264，铜牌（顺德联谊总会梁銶琚中学）
熊家健HUNG KA KIN KENNETH，7－7－1－7－2－0－24－130，银牌（拔萃书院男子中学）
钟秉毅Ping Ngai Chung，3－7－1－6－0－0－17－220，铜牌（喇沙书院）
余德熙Tak Hei Yu，0－1－0－0－3－0－4－444（喇沙书院）
总分以122分名列各参赛代表队第29名

中国澳门队各队员分数一览
（8个数据依次为六道题目得分，总得分，全体参赛选手排名）
Chi Choi Wong，黄滋才，7－7－0－2－1－0－17－220铜牌，教业中学，18岁，
2005第46届IMO荣誉奖，2006第47届IMO铜牌，2007第48届IMO银牌，2008IMO铜牌，2009IMO铜牌
Hou Meng Ip，叶浩鸣，1－0－0－2－0－0－3－459濠江中学，17岁，2007获IMO荣誉奖
Iat Kei Chan，1－0－0－0－0－0－1－511，16岁
Chi Tou Lam林梓滔，2－7－0－0－1－0－10－335荣誉奖，培正中学，16岁，2008曾参加IMO
Chao Keong Lo，1－6－0－0－2－0－9－354，荣誉奖16岁
Kan Chun Leong，1－1－0－0－7－0－9－354荣誉奖16岁
总分以49分名列各参赛代表队第67名

七.其中中国国家队韦东奕、日本代表队Makoto Soejima均以42分满分获得金牌，是仅有的两名满分选手。

韦东奕是第2次参加IMO并第2次以满分获得金牌。

与韦东奕同获满分的日本的Makoto Soejima是第4次参加IMO：
2005年第46届，18分，铜牌；
2006年第47届，未参加该届IMO；
2007年第48届，30分，金牌；
2008年第49届，35分，金牌；
2009年第50届，42分，金牌。

八.2009年7月10至22日在德国的不莱梅进行的第50届国际数学奥林匹克竞赛中代表中国参赛的6名队员全部获得金牌，蝉联团体总分第一名。

韦东奕  山东师大附中        42分

赵彦霖  吉林东北师大附中    38分

黄骄阳  成都七中            36分

林  博  北京人大附中        35分

郑  凡  上海中学            35分

郑志伟  浙江乐清公立学校    35分

   来自山师大附的天才少年韦东奕已是第二次参赛，再次以满分的成绩轻松摘得金牌头名，明年他不会再参赛了吧！另一获得满分的是来自日本的Makoto Soejima。

   IMO已经走过了50个年头了，希望中国的这些IMO选手中早日出现菲尔兹奖的获奖者。