用列举法解决鸡兔同笼问题

大峪二小   邓春香

一、指导思想与理论依据

教师要采用多样化的教学方式及策略使学生产生强烈的探索的目标，给思维以方向，同时巧设认知冲突，产生强烈的探索的欲望，给思维以动力。本节课，巧设问题，使学生产生假设的思想，在对思路的梳理中找到列举这一解决问题的策略，从而把问题化归到原有的知识体系中，在充分实践活动中，找到多种列举的方法。在探究过程中，教师要重视学生动手操作、自主探索和合作交流的学习方式，大胆放手，给学生时间和空间，让他们在熟悉的具体情境中，通过探究和体验，感受新知；联系生活经验，构建新知；小组合作交流，扩展新知；创新活动设计，超越新知。

二、教学背景分析

学情分析：

鸡兔同笼问题其结构特点是生疏的，数量关系比较抽象，小学四年级的学生思维能力不够深刻，因此理解掌握起来比较困难。如果在一节课中既讲画图法、又讲列表法，学生掌握起来会比较困难，哪一种方法都学不精透，经过思考，我把本节课的教学内容确定为列表，也就是《用列举法解决鸡兔同笼问题》。

《用列举法解决鸡兔同笼问题》学生调研方案及调研结果分析

调查时间：2009年5月14日

调研目的：

1.    了解学生学习“用列举法解决鸡兔同笼问题”这部分内容的有关知识基础。

2.    了解学生与“用列举法解决鸡兔同笼问题”有关的生活经验和学习经验。

3.    了解学生学习“用列举法解决鸡兔同笼问题”这部分内容可能存在的难点。

调研形式：调查问卷、访谈

调研对象：四年级四班共44名学生

           四年级二班的一个小组

调研内容及形式：

 （一）问卷调查

1．笼子里鸡和兔共有5只，共有12条腿，鸡和兔各有几只？

结果分析：结果显示，有5人通过画图找到了答案，有一人列式计算，其他人均没有找到答案。

（二）访谈（随机抽取7人）

结果分析：

   学生都是从课外班上知道一点，缺乏深入的理解。通过调研了解，学生对鸡和兔的特征比较了解，个别同学能够用画图法解简单问题，但对用列举法解鸡兔同笼问题一无所知，需要的是如何探索出用列举法解鸡兔同笼问题。

教学内容分析：

《鸡兔同笼问题》是首次出现在八册教材中，在五年级第二次出现，那时要求学生用方程解。本册教材中主要呈现了列表和画图的方法，计算的方法是作为一个拓展。教材安排的目的是让学生尝试探索数学的规律，学习解决问题的策略。

我的思考：1．引导学生整理原有学习经验，激活初步形成的数学思想，为学生参与学习活动，做知识上、方法上、情感上的准备。2．数学学习活动是一个以学生已有知识和经验为基础的主动建构过程，教师应根据学生掌握知识、技能的实际情况，精心设计一些有探索性的能揭示之间内在联系得有价值的问题。3．让学生运用假设的思想，在充分的实践活动中，经历知识的形成过程，找到多种列举的方法。

教学方式、手段与技术：

变重视结论的记忆为重视学生获取结论时的体验和感悟。变模仿式的学习为探究式的学习。贯彻转变学生学习方式的新理念，运用小组合作交流的方式，教师时而参与学生的探究时而对学生的活动进行引导和点拨，既有学生之间、小组之间的交流，也有师生之间的交流，教师是数学学习的组织者、引导着、合作者。运用信息技术，为学生提供现实的、有趣的、富有挑战性的学习内容，可以在视听领域里展示事物的发展变化过程，让学生亲身体验，不但有助于获取数学知识，更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法。

三、教学目标设计

知识与技能：使学生初步学会运用“列举”的策略解决鸡兔同笼问题。

过程与方法：通过对解决问题策略的探究，使学生体验假设的思想在数学中的应用，培养学生的逻辑思维能力。

情感态度与价值观：了解祖国数学历史文化，在现实情景中，使学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，进而让学生体会数学的价值。

教学重点：让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，体会解决问题的一般策略“列举”。

教学难点：抓住规律，体会在不断调整中找到答案的方法。

 

四、教学过程设计：

教学流程图：

 

 

古题今演，初步感知

推理探究，主动构建

逐一列表法

比较梳理，优化策略

取中列表法

跳跃列表法

反思体验，归纳总结

深化练习，拓展延伸

 

 

教学过程：

一、创设情境，初步感知：

1．同学们，鸡和兔大家熟悉吗?谁能用数学语言描述一下它们各自的特点?

2．揭示课题：今天这节课，我们就研究“鸡兔同笼”问题。

3．介绍：“鸡兔同笼”问题是我国著名的数学趣题，最早出现在大约1500多年前的古代名著《孙子算经》中。在那时，有一个名叫孙子的人。有一天，他到一位朋友家中做客，看到朋友家养了很多的鸡和兔，随口问道：“你家里养了多少只鸡和兔啊？”朋友回答说：（出示课件）“鸡、兔共35只，脚共94只。请你算一下，鸡、兔各有几只？”

4．提出问题：你们知道孙子的朋友家养的鸡和兔各多少只吗？看来这个问题中，数太大了，我们现在解决起来还有点困难，我们先从简单问题入手，寻找解决问题的策略。

[策略] 提出富有挑战性的问题，让学生在交流中畅所欲言，培养学生用数学的眼光分析问题的能力。通过历史文化的渲染与衬托，激起了学生对这个问题的好奇心，学生便带着对这一解决问题策略的渴望与需要开始了下面的学习。

二、推理探究，主动构建： 

（一）揭示一一列举的解题策略

1．课件：现在鸡和兔关在一个笼子里，鸡和兔共5个头。

 

鸡       兔        共有腿数  1        4           18  2        3           16  3        2           14  4        1           12

思考：鸡和兔各有多少只？鸡和兔共有多少条腿?

 

2．汇报。

3．你们猜出了鸡兔各自的只数，猜想在数学上就是一种假设。请你说一说你是怎么假设的？

4．观察我们根据要求假设的几种情况，你有什么发现？

5．看来，如果多一只鸡，少1只兔。总腿数会怎么样？

如果多一只兔，少1只鸡。总腿数会怎么样？

6．强化规律： 要想让腿数变多应怎么办？要想让腿数变少应怎么办？

7．同学们汇报了很多种情况，但是怎样才能把这些可能一个不漏的写出来呢？

小结：像我们猜鸡兔一共有多少条腿这样，从1开始把所有可能按一定顺序都列举出来的方法就叫一一列举法。

[策略] 以知识教学为载体，适时地渗透数学思想方法，在探究过程中获得积极的情感体验。

（二）列举的多种情况                                

出示：笼子里若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有26条腿。

鸡和兔各有几只？

1．你知道了什么信息？

2．小组活动：把列举的情况填进表格。看谁在列举中有新的发现。

3．汇报：

[策略] 真实的情境，经验的应用，有序的导向，使学生在自主中探索，在探索中发现，在发现中建构方法。

方案一：逐一列表法     

鸡（只）	兔（只）	腿（条）
7	1	18
6	2	20
5	3	22
4	4	24:
3	5	26
2	6	28
1	7	30

1．介绍列举的方法？

2．当你假设7只鸡、1只兔时，发现总腿数是18条腿，比26条腿少？ 你是怎么调整的？

3．对于这种列表的方法，你有什么建议？ 有不同意见吗？

方案二：取中列表法：

1．这还有一种方法。你们知道他这样列举是怎么想的吗？

 

鸡（只）	兔（只）	腿（条）
4	4	24
3	5	26

2．当你发现总腿数是24条腿时，你是怎么调整的？

3．对于这种列举的方法，你有什么想说的？

方案三：跳跃式列表法

鸡（只）	兔（只）	腿（条）
2	6	28
3	5	26

 

 

 

 

 

思考：这样列举可以吗？为什么？

 [策略] 给学生提供足够的动手操作、思考与交流的空间和时间，让学生们把自己的思考与同伴交流、在讨论、争辩、互助的过程中发现列举的几种方法。通过交流，体验解决问题策略的多样性，发展和深化学生对鸡兔同笼问题的理解。

（三）比较梳理、优化策略：

1．思考：有的表两次就找到答案，而有的表列举好几次才找到答案，为什么？

2．小结：第一种列举了所有可能出现的结果，直到找到答案。后两种方法根据题目中鸡、兔的头数和脚数先估算，再根据鸡、兔的变化规律进行调整，可以减少尝试的次数，尽快找到答案。同学们掌握了解决问题的基本策略，我相信大家一定会萌发出更多解决问题的好办法。

三、深化练习，拓展延伸

（一）趣题再演，强化方法

1．还记得我们开始遇到的那个难题吗？现在能解决了吗？

小组探究：鸡、兔共35只，脚共94只。请你算一下，鸡、兔各有几只？

2．汇报。

3．通过列举知道鸡兔各有多少只？有不同方法吗？

[策略] 通过对这一古代复杂问题的进一步地解决，凸显了本节课的学习价值，让学生进一步感受到了我国古代数学的魅力。

（二）了解历史文化：

刚才我们解决了《孙子算经》中这个很难的问题，那么《孙子算经》中又是怎样解决这个问题的呢？同学们想知道吗？我们一起去看看？

课件演示“砍足法”

（三）反思总结、类化知识

说明：同学们，生活中见过鸡和兔放在一个笼子里的吗？我们可以通过这种问题的思路，运用解决鸡兔同笼问题的策略，来解决一些实际问题，尝试一个。

王老师带48名同学去公园划船，共租了10条船恰好坐满。每条大船坐6人，每条小船坐4人。问大船、小船各租了几条？

1．你知道了哪些信息？

2．能用列举法解决这个问题吗？准备怎么列举？

3．通过列举得知大小船各租几条？有不同方法吗？

[策略] 把数学知识依附于常见的现实生活问题中，引领学生发展自身灵性，寻求数学知识与现实问题间的本质联系，进而合理处理相关信息，结合鲜活的数学材料，触动学生的道德碰撞，给原本单一冷漠的内容注入人文的血液，促进学生感悟、内化。

四、反思体验，归纳总结：

这节课你有什么收获？学会了哪些思想方法？

[策略] 回顾学习过程，进行数学体验的交流，有利于培养学生的归纳能力，有利于深化新知，使一些数学思想方法得到提炼。

 

 

 

板书设计：　

 鸡兔同笼问题

——列举

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

五、学习效果评价设计：

（一）本课特点：

如何能较好地达成教学目标，让全体学生学得了、学得好、学得乐。本节课让学生在经历中体验鸡兔同笼解决问题策略的形成过程。让学生动手操作与感知体验相结合，独立思考与合作交流相结合，观察现象与总结规律相结合，从而能够熟练的运用列举的方法解决鸡兔同笼问题。

1．重视概念建构的过程，让学生真正成为学习的主人

本节课，注意引导学生整理原有学习经验，激活初步形成的数学思想，然后让学生自主探索，再以小组合作学习的形式，在充分的实践活动中，经历知识的形成过程，找到多种列举的方法，在此基础上，引导学生应用策略解决问题。纵观，创设情境、建立模型、解释与运用的过程，学生很好的经历了知识的发生、形成、发展、应用的过程，通过实践、探索、归纳、应用，引导学生思维活跃更加主动的获取知识。

2．促进个性化的学习。

跳出数学学习“齐步划一”的课堂框架，实现“不同的人以不同的方式学习不同的数学” 让学生建立对数学知识的个性化理解。因此，我没有按统一的要求去指挥学生，而是以一个比较广阔的问题空间为背景，让学生用个性化的方式根据自己的实际情况进行列举。更是有效的促进了学生对“用列举法解鸡兔同笼问题”的个性化感悟。

3．预设与生成的有机统一

预设是教学的基本要求，而教学是人与人互动的过程，因此，它又是不断生成的过程，预设与生成的统一，揭示了确定中存在着不确定性，不确定中存在着确定性。本节课的开始，设计了“鸡兔共5个头，请学生思考鸡兔各几只”的问题。学生敢想敢说，想出了画图、列表的方法，有理有据的说出了鸡兔可能会是几只，教师预设与学生的心灵不断相通，展示了积极的课堂实景。 

本节课千方百计地让学生自主探索及与同伴交流，亲历观察、猜测、归纳、推理的活动过程，让学生在这一过程中发现鸡兔同笼问题的解题思路，掌握列举的解题策略，深化科学探究的方法和数学思维的能力，使学生的主体意识和探究精神得到培养，让学生获得亲身体验。教学过程中，以学生为主体，以活动为中心，以探究为主线，让学生在愉悦的氛围中，感知、理解、创造数学，逐步形成一种喜爱质疑、乐于探究、努力求知的心理倾向，让每一位学生都能体会到学习的乐趣，真正做到不同的学生得到不同的发展。

（二）后测分析：

    本节课结束后，我先把课上小篇子做的题目收上来，然后对41名同学进行了一次访谈：

结果显示：学生掌握了用列举法解鸡兔同笼问题，并且能够在列举的过程中巧妙地进行调整，除两人计算出错外，其他人都能够熟练进行列举。

（三）我的思考：

如何真正让学生在经历数学再创造过程中，体验到科学的态度和探索创造价值？如何让学生切身体会人们对鸡兔同笼问题的探索。我主要进行了以下思考：首先本节课的目的决不在于会解鸡兔同笼问题、而在于学生在发现探索解题策略的过程中，形成的假设的数学思想，经历列表、尝试和不断调整的过程，从而找到多种列举的方法。在这一过程中，科学严谨实事求是地态度，小组合作交流，反思意识与创新精神等也是学生非常需要的。

《课程标准》指出：学生的学习活动应当是生动活泼的主动的和富有个性的过程。教学时不仅关注学生的学习水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感、态度、价值观、思想和方法。思想方法是数学的灵魂，是数学的智慧，也是一种数学文化。本节课，引导学生经历了实践探索、归纳整理、应用提高这一丰富学程。假设的思想、列举的方法沉淀在学生的内心深处。因此，教师要用智慧去敏锐的捕捉、判断、放大、外化课堂中隐含的数学思想方法 ，并及时予以传递。