Ⅰ 授课题目：
§10.1 对弧长的曲线积分
Ⅱ 教学目的与要求：
1.
了解对弧长的曲线积分的实际背景，加深对该观念的理解；
2.
学会对弧长的曲线积分的计算方法；
Ⅲ 教学重点与难点：
重点：对弧长的曲线积分的计算方法。
难点：对弧长的曲线积分的计算方法中将其化为定积分时上下限的确定。
Ⅳ 讲授内容：
一、
对弧长的曲线积分的概念与性质
先看一个实际例子：曲线形构件的质量
设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x,
y)处的线密度为m(x, y)。 求曲线形构件的质量。
把曲线分成n小段, Ds1, Ds2, × ×
×, Dsn(Dsi也表示弧长);
任取(xi ,
hi)ÎDsi,
得第i小段质量的近似值m(xi ,
hi)Dsi;整个物质曲线的质量近似为
;
令l=max{Ds1, Ds2, × × ×,
Dsn}®0, 则整个物质曲线的质量为
。
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。由此，我抽象出对弧长的曲线积分的计算方法如下：
定义1 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,
函数f(x,
y)在L上有界。在L上任意插入一点列M1,
M2, × × ×,
Mn-1把L分在n个小段。设第i个小段的长度为Dsi,
又(xi,
hi)为第i个小段上任意取定的一点,
作乘积f(xi,
hi)Dsi, (i=1, 2,×
× ×, n ), 并作和 , 如果当各小弧段的长度的最大值l®0, 这和的极限总存在,
则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,
记作 , 即 。其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。
曲线积分的存在性: 当f(x,
y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分
是存在的。以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的。
根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分 的值, 其中m(x,
y)为线密度。
对弧长的曲线积分的推广: 。
如果L(或G)是分段光滑的, 则规定函数在L(或G)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.
例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,
则规定
。
闭曲线积分:
如果L是闭曲线, 那么函数f(x,
y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 。
对弧长的曲线积分的性质:
性质1
设c1、c2为常数, 则
;
性质2
若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,
则
;
性质3设在L上f(x, y)£g(x,
y), 则
.
特别地, 有
二、对弧长的曲线积分的计算法
根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f(x, y),
则曲线形构件L的质量为
。
另一方面,
若曲线L的参数方程为
x=j(t), y=y
(t) (a£t£b),
则质量元素为
,
曲线的质量为
。
即
。
定理1
设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续,
L的参数方程为 x=j(t),
y=y(t) (a£t£b),
其中j(t)、y(t)在[a,
b]上具有一阶连续导数,
且j¢2(t)+y¢2(t)¹0,
则曲线积分 存在, 且
(a<b)。
证明（略）
注意： 定积分的下限a一定要小于上限b。
例1：讨论下面的问题:
(1)若曲线L的方程为y=y(x)(a£x£b),
则 =?
提示: L的参数方程为x=x,
y=y(x)(a£x£b),
。
(2)若曲线L的方程为x=j(y)(c£y£d),
则 =?
提示: L的参数方程为x=j(y),
y=y(c£y£d),
。
(3)若曲G的方程为x=j(t), y=y(t),
z=w(t)(a£t£b),
则 =?
提示: 。
例2
计算 , 其中L是抛物线y=x2上点O(0,
0)与点B(1, 1)之间的一段弧。
解
曲线的方程为y=x2 (0£x£1), 因此
。
例3
计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为m=1).
解
取坐标系如图所示, 则 。
曲线L的参数方程为
x=Rcosq, y=Rsinq
(-a£q<a)。
于是
=R3(a-sina cosa)。
例4
计算曲线积分 ,
其中G为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2p的一段弧。
解
在曲线G上有x2+y2+z2=(a
cos t)2+(a sin
t)2+(k
t)2=a2+k
2t 2, 并且
,
于是
。
V
小结与提问:
小结：本次课主要介绍了：
(1)对弧长的曲线积分的概念；
(2)对弧长的曲线积分的计算法，在计算对弧长的曲线积分时需要将其化为一个定积分来算。
提问：如何将对弧长的曲线积分化为一个定积分，上下限怎么确定的？
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