一、用轮图处理Q、 R构形
什么是Q、R构形，在《警钟长鸣》中，有：
（3）第 1，2，3
种证明方法，不能成立的原因，可见
B。韦斯特。图论导引（第 2 版）。第 204-207 页（同上）。
（注意 ---- 设一个面 V 有 4，5 个相邻面的构形分别为 Q，R。构形 Q 中只有“非
H 图”（不类似 Heawood 图的），
而构形 R 中除有“非 H 图”外，还有多种“类 H
图”（类似 Heawood 图的）。
当年，Kempe 用同一种着色方法（必须如此），证明“非 H
图”的 V 面可着 4 色中的某一色，为可约的，
但却不能同时证明多种“类 H
图”也是可约的！尽管能用另一种着色方法，证明 Heawood 图也可着 4 色！
于是，人们才去另辟新径，见 N.Robertson
等人的文章，可点击
www.docin.com/p-90614570.html
这里讲到Q、R构形，也指出当年Kempe的解决方法。
我觉得在学习古人东西的同时，也要结合现代图论已有的基础知识。这样就不易走弯路。
就说Q构形吧，也可以不用换色法；因为已知“V的4邻点，已用完4色了。”这相当于：给了4种颜色，如何使v也着这4种颜色的其中某一色？
首先考虑4邻点构形的具体情况，一种可能：4邻点互相独立，呈繁星状（需2色）；再有：邻点相邻，呈轮图结构（需3色）；相比较看，后者需要颜色数较多些；故为稳妥，考虑轮图结构为好（这等于考虑4邻点的导出子图）。这是一个5阶轮图，是3色图。在已知是4种颜色的条件下，可分给外围2色，给V1色，还空1色；显然是可以办到给v着上4色之一色的！
如此，我们用了“可着色的定义”----对颜色数的重新再分配----给解决了。上面这个结果，用图论的术语也叫4-可着色的。
表面上看，这两种方法都得到了同一个结论---图是可约的。但它们有很大的不同。前者没有用到“最少可着色”的定义，而后者用到了。前者导致出现了5色定理。而加入最少可着色的定义之后，才能使"4cc"的证明趋于更合理化！
同样道理，也可以解决R结构的问题：5邻点，4着色，如何给v着4色之一色呢？
5邻点与v构成6阶轮图，是4色图。请注意：用了轮图，使“最少可着色数”进入了证明。已知的4色的重新再分配可以给外围5邻点着3色，v着上4色之一色的。图的结果仍是4-可着色的。
在上面的讨论中，我们用到轮图的色数定理：奇圈和奇数阶轮图都是3-色图，而偶数阶轮图为4-色图。这是现在《离散数学教程》中就有的定理！
我个人认为，由于时代的变化，在图论基础知识发展的今天，已经产生了很多管用的定理。结合数学归纳法，可以组织非常有力的四色猜想的证明。每一个熟悉这两方面的人都可以写出证明来，“4cc”的证明不再是专家学者的专利啦！
大家在前面已经看到了我对两个构形，是使用“轮图”这个特殊的工具来处理的。轮图能不能胜任这项任务呢？我通过一个例子负责任的告诉大家，完全胜任！首先得承认，轮图定理是真的，千真万确！有书为证，家喻户晓。
二、用轮图研究外层顶点所构成环的着色数
既然它是定理，按数学的逻辑，它可以产生推论！现在我用它来研究任意简单平面图的最外层顶点所构成的环的“着色数”。怎么研究？不用别的，就用对偶原理---在图外取一点
v,以v为轮图中心，并与简单平面图最外层顶点（n个）连线，于是构成（n+1）阶轮图。当然可依据该轮图的阶数，知道轮图的色数i。于是简单平面图最外层顶点构成的“环的着色数”可以推出为：(i-1)!
当取i=4，有i-1=4-1=3
。这是简单平面图最外层顶点构成的环的最多着色数！
三、关于归纳假设的变通问题
在二中得到的规律，有一些网友看到具体图时---那个环已着了4色，于是开始怀疑刚才的推导和结论；老是囿于Kempe的换色法，总想也看看“过程是怎样由4色变到3色的”。须知道，用规律不用看过程，这也是科学的方法。它的准确度不比亲眼见差分毫！那个实际上已着了4色的环，确实存在；这就说明该环上的颜色数多了，是可以调整的。在数学中国有网友梁增勇的帖子，他在《四色定理最新证明》中给出几条定理---就涉及到刚才的问题。如果网友们一定要看看出现一个3色的环，可以这样办：
先把v的邻点依照轮图的着色规律着成3色，然后再着图的其它部分。这样得到的图作为归纳假设4-可着色的图，由此出发再去论证，第(n+1)个点也是4-可着色的。显然，这样处理只是改变了着色的次序而已，没有什么不允许的！由于归纳假设前n个顶点的图已是4-可着色的，而v的外围已着3色，轻而易举地推出给v着上4色的另一色即可。
这样处理就比按常规，v的5邻点是后着色---已用完了4色，要好明白得多。因为此时，往往使人产生误会----以为这4色不能再动了。不是的！动还是要动，只是用的方法不同而已。不少网友就是“卡”这里，顺势数了下去，由4到5，再添一色吧！不但不能达到4-可着色，却事与愿违跑到5-可着色去了。
通过以上的分析、比较，我觉得可以说服大家可以大胆应用轮图或者关于圈的色数定理了。它们是平面图的最常见的结构，其性质也是平面图的最基本的性质。
现在在我们国家有很多人在搞“4CC”，有哲学方面的黎鸣、社会学者敢峰、业余爱好者董德周、雷明、张彧典......各有不同的文化背景，使用不同的方法；我觉得最可取的还是用图论的方法去学习、去发现、去解决4CC问题。我主张走：在图论中去“发现”----有没有可用的工具----这条道路。
我发现了就及时告诉大家！请大家用自己的特色写出百花齐放的好文章。
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