《数学聊斋》有一节专门叙述五色定理和肯泊绝招儿。读后发人深省：原作者为什么称肯普的顶点颜色交换为肯普的“绝招儿”？再结合业内人士下面的用近代手法写出的五色定理的证明，看出古人肯普的证明中有怎样的超凡智慧；相比之下，让人不难发现希伍德反例有着怎样的伪科学之处。

   在此之前，本人写过几篇博文，如《芝诺悖论与希伍德反例图》、《对希伍德反例图说----不！》、彻底颠覆希伍德反例图》等。现在对反例图的认识又上升了一个台阶-----伪科学。我这不是在造谣惑众，一个业余爱好者没有必要；在科学目前只有老老实实，不能丢掉本分。希望广大网友，我们共同学习研讨，以求实发展科学为己任。

   一）先消化文后的证明的主要逻辑

  用近代的局部子图，导出子图（Gi，j）考察i,j颜色顶点的连通情况，当然也借助约当曲线定理（联合V点）。当某两顶点被封闭曲线隔离，书中称（为i,j不在同一连通片）在两个连通片，这时候允许交换！这种逻辑过程是证明的精髓所在。再看看肯泊是怎么做的呢？

   二）肯普在他的证明中用“两个点接点路线不连通”来表达“某两点被隔离”，得到的结论同样是“可换色”。但是肯普没有证明过程。现在不同了，【数学聊斋】中很好地证明：若Vi,Vj在同一连通片，联合V(中心顶点）的封闭曲线，还将隔离另外两顶点。这时又出现可以换色的顶点。所以说【数学聊斋】里的逻辑本身包含有对使用方法的证明。因此，到目前为止，我们已经找到了肯泊方法的证明！这就是我这次外出学习的最大收获。

   很多专业图论著作指责肯普怎么没有证明这一点，现在看来明白了。那时没有约当定理，完全受历史的局限。肯普能提出“不连通的两色回路就可以换色”就相当不容易了！

   三）肯普的缺失

  肯普当年的缺失是先后二次换色，不知道其中一次的换色会给紧接着的下一次带来的否定。希伍德正因为也不知道这一点，所以他当年举出了反例，现在看来根据【离散数学】及【数学聊斋】中的有关内容，“反例”已经失去科学的效用了。我们再视为反例就自欺欺人了。现在，有理由把原来的反例，看成“伪科学”。

   四）顶点换色法适用范围

  结合【对顶点换色的剖析】，顶点换色法不仅适用于5邻点着五色情况，同时也适用于5邻点着4色的情况。现在，希伍德反例图不再是方法的障碍！

    通过实践您会发现，肯普在二）的提法，是比用约当曲线定理更强的命题。因为依约当曲线定理，在曲线上的点与其内的点不一定被分离，可是实际上：只要不连通，就可被分离--且可换色！肯普的提法之所以被认为是“绝招儿”，是可以被人理解的！

   【数学聊斋】的有关段落摘录于后，有关肯泊的证明见【数学证明】（2008,4月，大连理工大学出版社，萧文强，p150.)

1890 年，希伍德（Heawood)继承肯普（Kemple)1879 年误证四色定理时用的方法，证明了五色定理。

         X（平面图）=、<5..........(3.6)

   用对平面图G的顶点数V的归纳法来证明五色定理。

  V=、<5时，（3.6）式显然成立。假设V=、<n-1时（3.6）式成立，考虑V=n的平面图G。由于最小度数（G）=、<5，即存在V0（- V（G),d(v0)=、<5.

  情形1.d(v0)=、<4，考虑G-VO,由归纳法假设，X（G-V0）=、<5，把G-V0用不超过5种颜色正常着色后，再把V0着以异于其邻顶的第五种颜色即可。

  情形2.d(vo)=5,设v1,v2,v3,v4,v5是v0的5个邻顶，按逆时针的顺序画在v0周围如下图：

      v2   

      |

v3----v---v1-

 |   /.\    |

 |  /  .\   |

  |v4    v5  /

 |

 \P(V1,V3)/     

    它们分别着以1,2,3,4，5五种颜色。以下其他顶着色时只允许用这五种颜色；先把G-V0用以上五色正常着色。记GO=G-V0，G1,3是由1和3两种颜色的顶为顶集，边的两端为1色与3色时为G1,3的边形成的GO 之子图，G2,4 作相似理解。

  若在G1,3中V1 与 V3分属于两个连通片，把含V1的那个连通片中的1色与3色互换，由归纳法假设，X(G0)=、< 5，这时再把V0着以1色即可。若V1 与 V3 在G1,3的同一连通片内，则存在轨P(V1，V3)，在P(V1，V3)上1色与3色交替出现，而在G中，V0V1P(V1，V3)V3V0是一个圈，V2与 V4分属于此圈之内外；在G0中，子图G2,4中，V2 与 V4必分属于G2,4的两个连通片，不然，G2,4中有轨道P(V2，V4)与P(V1，V3)相交于一个公共顶U，U在P(V1，V3)上应是1色或3色，U又在P(V2，V4)上，U应为2色或4色，这当然不可能。

  既然V2与 V4分属于G2,4的两个连通片，把V2所在的联通片中的2色与4色互换，再把 V0染上2色即可。至此证出五色定理（3.6）。

  证明中两次使用两色互换的技术，这是肯泊首创的一个绝招。在关于图的色的研究中，人们不止一次地引用过这一绝招。阿佩尔也承认，他们在用计算机证明4CC时，也借鉴了肯普当年证明4CC时用过的方法和思路。

参考文献《数学聊斋》科学出版社2008,8.   王树和 P188-189