1. 自功率谱密度函数

　　自相关函数的傅立叶变换称为自功率谱密度函数，简称自功率谱或自谱，用符号

http://s3/middle/51b4da5a4cd58fc9d6c62&690 表示，它表示单位频带宽度上的平均功率。

　　 随机信号的自相关函数与功率谱密度函数组成傅立叶变换对，即

　　　　　　　　　http://s12/middle/51b4da5a4cd58fcb2562b&690　　　　　　　　(2.4.15)

由于http://s12/middle/51b4da5a4cd58fcb6891b&690也是实偶函数，因此，式（2.4.15）又可写成

　　　　　　　　　http://s4/middle/51b4da5a4cd58fca56c13&690　　　　　　　　(2.4.16)

　　 根据自相关函数的特性(2)，在式（2.4.15）中令τ＝0，则可得

　　　　　　　　　http://s10/middle/51b4da5a4cd58fcc53869&690　　　　　　　　 (2.4.17)

这表示自功率谱http://s12/middle/51b4da5a4cd58fcaa056b&690给出了信

号中各频率分量的功率沿频率轴的分布，所以称http://s16/middle/51b4da5a4cd58fcaf30af&690为功率谱密度。

　　http://s10/middle/51b4da5a4cd58fcbbf659&690是在(-∞,+∞)频率范围内的功率谱，所以又称为双边谱。但在实际应用中频

率ω是在(0,+∞)范围变化，考虑到能量等效，用单边功率谱http://s12/middle/51b4da5a4cd58fcbc0e5b&690代替双边功率谱

http://s16/middle/51b4da5a4cd58fcbb6b5f&690 ，则有

　　　　　　　　　　http://s14/middle/51b4da5a4cd58fcd562dd&690　　　　　　　　　　　 (2.4.18)

图2.4.9所示为单边谱与双边谱的关系。

http://s6/middle/51b4da5a4cd58fcd49f35&690　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　 2. 互功率谱密度函数

　　与定义自谱类似，对互相关函数进行傅立叶变换，得到互功率谱密度函数，用符号

http://s13/middle/51b4da5a4cd58fcd0d6ec&690 表示。

　　　　　　　　　　http://s10/middle/51b4da5a4cd58fccb5c49&690　　　　　　　 (2.4.19)

　　 互功率谱简称互谱，它反映了两个信号中共同的频率成分。互谱为复频谱，包括模

和相角两部分，模的大小等于两个信号中共同频率分量幅值乘积的1/2，相角等于它们的

相位差。

3. 自功率谱、互功率谱的应用

　　自功率谱和互功率谱在随机信号分析中有着广泛的应用，是现代信号分析的主要方

法。其主要应用包括以下几个方面：

　 （1）随机信号频域结构分析。由自功率谱可确定信号的频率结构及信号频宽，并由

此将随机信号分为宽带或窄带随机信号或白噪声信号。例如若随机信号的功率谱密度函

数在整个频率范围内保持常数，这种随机信号称为白噪声，而只在低频范围内保持常数

的随机信号称为低通白噪声。

　 （2）相关函数的测量。自相关函数、互相关函数可以由定义式在时域内计算得到，

但计算速度较慢。后来由于快速傅立叶变换的出现，功率谱分析速度很高，目前都采用

先计算自功率谱或互功率谱，然后经反变换计算相关函数的办法测量。

　 （3）系统传递函数的计算。由功率谱计算传递函数的方法有两种。

　　1) 自谱互谱法。系统传递函数由输出的自谱与输出输入的互谱之比计算

　　　　　　　　　　http://s14/middle/51b4da5a07aef4c7d15ed&690 　　　　　　　　　　　　　(2.4.20)

这是目前信号分析仪通常采用的计算传递函数的方法。

　　 2) 自谱法。由系统输出与输入的自谱之比得到传递函数的模为

　　　　　　　　　　http://s5/middle/51b4da5a4cd58fce47b94&690 　　　　　　　　　　　　(2.4.21)

由于自谱中没有保留相位信息，因此用自谱法不能得到传递函数的相位谱。

　 （4）噪声干扰的评定及相干函数的计算。若测量中存在噪声的干扰，则被测信号

x(t)与y(t)将存在测量误差，从而影响到传递函数的测量。干扰的大小通常由相干函数

http://s12/middle/51b4da5a4cd58fce1957b&690 评价
　　　　　　　　　　　http://s14/middle/51b4da5a4cd58fcd7cacd&690　　　　　　　　　(2.4.22)

　　　　　　　　　　　　http://s15/middle/51b4da5a4cd58fcef497e&690

　　 在存在噪声干扰时，http://s11/middle/51b4da5a4cd58fcda2a9a&690则

只包含了输入输出信号的共同频率分量，排除了干扰。因此，噪声干扰越大，相干函数

值越小。用相干函数可以检测到非相关噪声的存在。

相干函数也是描述两个过程因果关系的度量。若x(t)与y(t)分别为一个系统的输入和

输出，那么相干函数http://s1/middle/51b4da5a4cd58fce70f90&690＝

1时，表示信号y(t)完全来源于信号x(t)；当http://s13/middle/51b4da5a4cd58fcec239c&690＝0时，表示信号y(t)和x(t)是统计独立的

，即互不相干。

　 （5）功率谱在状态监测与机械故障诊断中的应用。利用功率谱的变化可以发现机械

设备工作状态的异常。若功率谱图上某些特征频率处出现突变，由此可判断故障部位或

故障类型等。若为了更明显地揭示故障部位和类型，有时还需要采用更精细的信号分析

方法，例如瀑布图、小波变换等方法。

http://s1/middle/51b4da5a4cd58fce9aea0&690

                                      　　瀑布图谱阵分析　　

http://s15/middle/51b4da5a4cd58fce9da5e&690　

　                                           调频信号的瀑布图

http://s10/middle/51b4da5a4cd58fd031af9&690

　http://s1/middle/51b4da5a4cd58fcfaed40&690

　　                                    　调频信号的小波变换图

转自：http://jpkc.nwpu.edu.cn/jpxin/gccsjs/class/2/2.4.4.htm