【此题如果没有见过或没有训练过，可以按正常小学生思维来解。学了小奥就可以用分类排列组合；小奥不扎实就可以用最简单的分类枚举，但依然很难很复杂，此时再思考着从简单入手，找规律。】

http://www.gaoqischool.com/detail.php?cid=35&did=1924&page_type=article

【有50年小学数学教龄的退休教师所写】

  类似题目：

1、妈妈买来10个鸡蛋每天至少吃2个吃完为止有多少种不同的吃法

【问题 45 】  有20块巧克力，每天至少吃3块，吃完为止。问一共有多少种

不同的吃法？

 

           这是一道排列组合问题。如果用中学的有关公式来解，小学生难以

理解。由于数字不大，我们可以用枚举法，一步一步地找到相关答案。

有没有简便的方法，或者说有没有什么规律可循，并且根据这个规律，

不仅能够解决本题，而且还可以推而广之，不管数字有什么变化，我们

都能够很快找到答案呢？

【问题 45 】  有20块巧克力，每天至少吃3块，吃完为止。问一共有多少种

不同的吃法？

 

【分析与解】  为了找到比较简便的方法，我们不妨把题目的数字改小，看看有没有什么规律。题目改为：

有5块巧克力，每天至少吃2块，吃完为止。有多少种不同的吃法？

    （如果只有1块，每天至少吃2块，无法按要求吃，故至少有 2块；）

    如果有2块，每天至少吃2块，只有1种吃法（2）；

    如果有3块，每天至少吃2块，也只有1种吃法（3）；

    如果有4块，每天至少吃2块，也只有2种吃法（2，2；4）；

    如果有5块，每天至少吃2块，就有3种吃法（2，3； 3，2； 5）；

      

下面我们再增加巧克力的块数：

    如果有6块，每天至少吃2块，就有5种（2，2，2；3，3；2，4；4，2；6）；

    如果有7块，每天至少吃2块，就有8种吃法（2，2，3；2，3，2；3，2，

2；2，5；5,2；3，4；4，3；7）；

    如果有8块，每天至少吃2块，就有13种吃法（2，2，2，2；2，2，4；2，

4，2；4，2，2；2，3，3；3，2，3；3，3，2；3，5；5，3；4，4；2，

6；6，2；8）

           我们将这些情况列表：

       块数    2    3    4    5    6    7     8    9   10  …………

       吃法    1    1    2    3    5    8    13   21   34  …………

            └ 两个“1”┘

仔细观察上表，不难发现：从有4块巧克力开始，吃法的种数都是前两个数的和：1＋1=2； 1＋2=3； 2＋3=5； 3＋5=8； 5＋8=13 ；8＋13=21；13＋21=34；……。也就是说，我们只要找出前两个数，后面的数就可以通过前两个数相加得到，而且前两个数都是“1”，这真是太方便了。

        下面我们再将它们改一改：每天至少吃3块，吃完为止，一共有多少种不同的吃法？

        繁琐的找法就略去了。我们还是将经过试验得来的有关数据列表：

    

块数    3    4    5    6    7     8    9   10   11    12  ……  

吃法    1    1    1    2    3     4    6    9   13    19  ……

            └  三 个“1” ┘

 

         仔细观察上表，巧克力的块数从3块起，每次增加一块。我们发现吃法从第四个数起，每个数都是它的前一个数与前第三个数的和：   1＋1=2，1＋2=3，1＋3=4，2＋4=6，3＋6=9，4＋9=13，6＋13=19，……，而且前三个数都是“1”。

 

        下面我们再将题目改一改：每天至少吃4块，吃完为止，一共有多少种不同的吃法？

        同样我们将经过试验得来的有关数据列表：

   

块数    4    5    6    7    8    9    10   11   12   13   ……

吃法    1    1    1    1    2    3     4    5    7   10   ……

           └    四 个 “1 ”  ┘

 

        仔细观察上表，我们发现吃法从第五个数起，每个数都是它的前一个数

与前第四个数的和：1＋1=2，1＋2=3，1＋3=4，1＋4=5，2＋5=7，3＋7=10，……

而且前四个数都是“1”。

       这样，我们就找到了一个规律：每次至少吃2块，只要找到前两个数，

相加就能得到下一个数；每次至少吃3块，只要找到前三个数，将前一个数

与前面第三个数相加，就能得到下一个数；每次至少吃4块，只要找到前四

个数，将前一个数与前第四个数相加就能得到下一个数。

归纳一下：每次至少吃n块，巧克力的块数从n块起直到（2n－1）块，吃法都只有1种；从第2n块起的吃法种数，只要将前一个数的吃法与前第n个数的吃法的种数相加就能得到。

这就能够为我们找到对应的答案提供了方便。

比如，每次至少吃8块，那么，从8块起到15块，都是只有1种吃法（前

8个数都是“1” ），由此可知，如果是16块，就有（前一个数1加上前第八个数1）2种吃法了。

        现在，我们可以利用这个规律来解决“问题”了：有20块巧克力，每

天至少吃3块，吃完为止。问一共有多少种不同的吃法？（还是列表）

 

  

块数   3   4  5   6   7  8   9  10 11  12 13  14  15  16 17  18 19   20  …

吃法   1   1   1  2   3  4   6   9 13  19 28  41  60  88 129189 277 406  …

        └三个“1”┘

 

        所以，20块巧克力，每天至少吃3块，吃完为止，就一共有406种不同

的吃法。

 

 2、

有8块相同的巧克力糖，从今天开始每天至少吃一块，最多吃两块，吃完为止，共有多少种不同的吃法？

　

为叙述方便起见，设n块糖有an 种不同的吃法。     如果n＝1，那么只有1种吃法，所以 a1＝1；     如果n＝2，那么有2种吃法，每天吃1块和每天吃2块，所以 a2＝2；     下面研究n≥3的情况，我们把吃糖的情况分为两种情况讨论：     如果第一天吃1块，那么还有n－1块，有an－1种不同吃法。     如果第一天吃2块，那么还有n－2块，有an－2种不同吃法。     根据加法原理得：an＝an－1＋an－2 （n≥3），这样我们可以这个算出a3、a4、a5、…a8 现列表如下： n 1 2 3 4 5 6 7 8 an 1 2 3 5 8 13 21 34     所以，8块相同的巧克力糖有34种不同的吃法。 3、 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？ 此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论 最多吃5天，最少吃1天 1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况 2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ c10 1=10 3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? c8 2=28 4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6 3=20 所以一共是 2+10+28+20=60 种