1、是否存在两个正整数a,b，使得（a^2+2b）与（b^2+2a）同为完全平方数？

分析与解答:

我们设a≥b,那么a^2<(a+1)^2

根据两个连续自然数之间不存在其他完全平方数,所以在a^2与(a+1)^2之间不存在a^2+2b为完全平方数,同理也不存在（b^2+2a）为完全平方数.

2、是否存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5?

分析与解答：

假如这2000位数字都是5，那么肯定不是完全平方数；

假如有1999位是数字5，其他一位不是数字5，有如下情况：

①假如个位不是5，那么个位只能是0，1，4，6，9。

如果个位是0，那么必须至少是2个才有可能是完全平方数，所以0可以排除；

如果个位是1，4，9，那么必须十位是偶数才有可能是完全平方数，所以1，4，9也可以排除；

如果个位是6，那么这2000个数的数字和为10001，可以写成3k+2的形式，而完全平方数只能是3k或3k+1的形式，所以6也可以排除；

②假如个位数字是5，那么十位只能是2，否则就不可能是完全平方数；

如果十位数字是2，个位数字是5，那么这数为一个末位是5的奇数的平方我们可以表示为(5k)^2=25k^2,我们知道奇数的平方都是8的倍数+1，所以25k^2=25(8n+1)=200n+25,所以百位上是偶数，但是百位上是5，所以也不是完全平方数。

综上所述，不存在一个2000位的整数，它是某整数的平方，且在十进制中至少有1999个数字是5。

3、求自然数n，使Sn=9+17+25+……+（8n+1）=4n^2+5n为完全平方数。

分析与解答：

4n^2+5n=n(4n+5)

若4n^2+5n=n(4n+5)是完全平方数，那么4n+5就必是n的倍数，并且还是完全平方倍，我们设它为k^2倍（k为自然数），即4n+5=k^2n,

4n+5=k^2n

(k^2-4)n=5

由于5是素数，所以k^2-4与n里必有一个为5，一个为1，

若k^2-4=1，那么k^2=5，显然k就不能为自然数，不符合；那么k^2-4=5,则k^2=9,k=3,符合条件，在这种情况下n只能等于1，

所以只有n=1时， Sn=9+17+25+……+（8n+1）=4n^2+5n才能为完全平方数。

4、设平方数y^2是11个相继整数的平方和，求y的最小值。

分析与解答：

我们设这11个数分别为（x-5),(x-4),(x-3),(x-2),(x-1),x,(x+1),(x+2),(x+3),(x+4),(x+5)

那么他们的平方和就是

（x-5)^2+(x-4)^2+(x-3)^2+(x-2)^2+(x-1)^2+x^2+(x+1)^2+(x+2)^2+(x+3)^2+(x+4)^2+(x+5)^2=11x^2+110=11×（x^2+10)

要使11×（x^2+10)是完全平方数，那么x^2+10最小是11，即x=1，y=1+10=11 。

但是如果在小学里显然x不能等于1，那么x至少等于23，即y=77。

5、设p,m,n为一组勾股数，其中p为奇质数，且n>p, n>m。求证：2n-1必为完全平方数。

分析与解答：

由于p,m,n为一组勾股数，且n>p, n>m，所以n^2=m^2+p^2

n^2-m^2=p^2

(n+m)(n-m)=p^2

又由于p为奇质数，所以n+m=p^2,n-m=1

那么(n+m)+(n-m)=p^2+1

2n-1=p^2

所以设p,m,n为一组勾股数，其中p为奇质数，且n>p, n>m。那么2n-1必为完全平方数。

6、是否存在正整数a、b，使得(a^2 + b)、(b^2 + a)都是完全平方数；若存在给出例子，否则说明理由；

【解法】依然假设a》b，a^2《a^2 + b《a^2 + a<</b>a^2 +2 a+1<(a +1)^2

中间不可能有平方数。