加载中…5个不同的小球放入4个不同的盒子里，没有空盒
(2012-07-21 20:48:42)
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杂谈 |
若5个不同的小球放入4个不同的盒子里，没有空盒，有几种不同的放法？
C（5,2）*A（4,4）=240
1、将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有？
http://s3/middle/51916951t7a2243aafd82&690
2、7个不同的小球放入四个不同的盒子中，每盒至少有一个小球的方法有多少种放法？
7个不同的小球放入四个不同的盒子中，每盒至少有一个小球的方法有多少种放法？
解：小球不同，盒子也不同，并且要求每盒至少有一个小球，
①7=4+1+1+1——1个盒子放4个小球，剩下3个盒子每个盒子放1个小球。
先考虑在7个小球中选择4个作为1组，有C(7,4)=35种分法，
剩下的3个小球每个都作为1组，这样的4组小球分别放入4个不同的盒子里，
有A(4,4)=24种放法。
因此，7=1+1+1+4共有C(7,4)·A(4,4)=840种放法。
②7=3+2+1+1——1个盒子放3个小球，1个盒子放2个小球，剩下2个盒子每个盒子放1个小球。
先考虑在7个小球中选择3个作为1组，有C(7,3)=35种分法，
再在剩下的4个小球中选择2个作为1组，有C(4,2)=6种分法，
最后剩下的2个小球每个都作为1组，这样的4组小球分别放入4个不同的盒子里，
有A(4,4)=24种放法，
因此，7=1+1+1+4共有C(7,3)·C(5,2)·A(4,4)=5040种放法。
③7=2+2+2+1——3个盒子每个盒子放2个小球，剩下1个盒子放1个小球。
先考虑在7个小球中选择2个作为1组，有C(7,2)=21种分法，
再在剩下的5个小球中选择2个作为1组，有C(5,2)=10种分法，
再在剩下的3个小球中选择2个作为1组，有C(3,2)=3种分法，
最后剩下的1个小球作为1组，
这样的分组会有重复，实际只有C(7,2)·C(5,2)·C(3,2)/A(3,3)=105种分法，
这样的4组小球分别放入4个不同的盒子里，
有A(4,4)=24种放法，
因此，7=1+1+1+4共有105·A(4,4)=2520种放法。
(或者这样考虑：
在分组的同时选择放入的盒子，那么共有A(4,3)·C(7,2)·C(5,2)·C(3,2)=2520种放法.)
综上所述：把7个不同的小球放入四个不同的盒子中，每盒至少有一个小球，
3、将3个不同的小球分别随意地放入4个不同的盒子内，求3个小球恰在不同盒子内的概率
放法总数 = 4*4*4 = 64(种)
3个小球恰在不同盒子内的放法数 = A(4,3) = 24
因此, 所求概率 = 24/64 = 0.375
4、四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空壳的放法有？
C42*A43=144
5、将编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中，每个盒子只放入一个，
①一共有多少种不同的放法？
②若编号为1的球恰好放在了1号盒子中，共有多少种不同的放法？
③若至少有一个球放入了同号的盒子中（即对号放入），共有多少种不同的放法？
②一个小球固定1号盒，其余的四个球随意放，它们依次有4、3、2、1种不同的放法，于是可以求出不同的放法，
③ 解法一：在这120种放法中，排除掉全部不对号的放法，剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数，解法二：从五个球中选定一个球，有5种选 法，将它放入同号的盒子中（如将1号球放入1号盒子），其余的四个球随意放，有24种放法，这样共有5×24=120种放法，然后去掉重复的放法的种数就 是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数．
②将1号球放在1号盒子中，其余的四个球随意放，它们依次有4、3、2、1种不同的放法，这样共有4×3×2×1=24种不同的放法．
③（解法一）
在这120种放法中，排除掉全部不对号的放法，剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数．
为研究全部不对号的放法种数的计算法，设A1为只有一个球放入一个盒子，且不对号的放法种数，显然A1=0，A2为只有二个球放入二个盒子，且不对号的放法种数，∴A2=1，A3为只有三个球放入三个盒子，且都不对号的放法种数，A3=2，An为有n个球放入n个盒子，且都不对号的放法种数．
下面我们研究An+1的计算方法，考虑它与An及An-1的关系，
如果现在有n个球已经按全部不对号的方法放好，种数为An．取其中的任意一种，将第n+1个球和第n+1个盒子拿来，将前面n个盒子中的任一盒子（如第m个盒子）中的球（肯定不是编号为m的球）放入第n+1个盒子，将第n+1个球放入刚才空出来的盒子，这样的放法都是合理的．共有nAn种不同的放法．
但是，在刚才的操作中，忽略了编号为m的球放入第n+1个盒子中的情况，即还有这样一种情况，编号为m的球放入第n+1个盒子中，且编号为n+1的球放入第m个盒子中，其余的n-1个球也都不对号．于是又有了nAn-1种情况是合理的．
综上所述得An+1=nAn+nAn-1=n（An+An-1）．
由A1=0，A2=1，得A3=2（1+0）=2，A4=3（2+1）=9，A5=4（9+2）=44．
所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球都不对号的放法种数，即120-44=76种．
（解法二）
从五个球中选定一个球，有5种选法，将它放入同号的盒子中（如将1号球放入1号盒子），其余的四个球随意放，有24种放法，这样共有5×24=120种放法．
但这些放法中有许多种放法是重复的，如将两个球放入同号的盒子中（例如1号球和2号球分别放入1号盒子、2号盒子中）的放法就计算了两次，这样从总数中应减去两个球放入同号的盒子中的情况，得120-C52P33=120-60（种）．
很明显，这样的计算中，又使得将三个球放入同号的盒子中（例如1号球、2号球和3号球分别放入1号盒子、2号盒子和3号盒子中）的放法少计算了一次，于是前面的式子中又要加入C53P22=20种，
再计算四个球、五个球放入同号盒子的情况，于是再减去四个球放入同号盒子中的情况C54P11，最后加上五个球放入同号中的情况C55．
整个式子为120-C52P33+C53P22-C54P11+C55=120-60+20-5+1=76（种）．
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