【仁华课本四年级下册第八讲 数学游戏】再试一次

例1 甲、乙二人轮流报数，必须报不大于6的自然数，把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是2000，谁就获胜.如果甲要取胜，是先报还是后报？报几？以后怎样报？

【思路】倒推法，抢占制胜点。

6+1=7，甲先报的话，要得到2000，那么得先得到1993，这样乙最少能得到1994，最大得到1999，甲都能得到2000.以此类推，再得到1986，。。。，2000除以7余5，那么甲最好先报，报5，以后乙报a,那甲就报7-a，这样就能取胜。

弄清思路，题目如何变幻都没问题。

可以出题：乙报了3，甲要取胜怎么报？或者其他。

例2 有1994个球，甲乙两人用这些球进行取球比赛.比赛的规则是：甲乙轮流取球，每人每次取1个，2个或3个，取最后一个球的人为失败者.

　　①甲先取，甲为了取胜，他应采取怎样的策略？

　　②乙先拿了3个球，甲为了必胜，应当采取怎样的策略？

【思路】先读题，读懂题目找思路。

思路：一样倒推，制胜点。  比例题1难一点，有区别，取最后一个球不是得胜还是失败。

要想取胜只能给对方留一个球，否则对方还能给你留下球。

1994-1=1993，这时候跟例题1差不多。3+1=4,1993除以4余1，甲先取1个，之后乙取a，甲就取4-a个，这样甲能取到1993个，所以最后一个给了乙，自己取胜。

乙拿了3个球，还剩下1991个球，1991-1=1990,1990除以4余2，甲取2个，之后乙取a，甲就取4-a个，就能获胜。

例3 甲、乙两人轮流往一张圆桌面上放同样大小的硬币，规定每人每次只能放一枚，硬币平放且不能有重叠部分，放好的硬币不再移动.谁放了最后一枚，使得对方再也找不到地方放下一枚硬币的时候就赢了.说明放第一枚硬币的甲百战百胜的策略.

【思路】对称。

甲先放原点，之后乙放，甲就对称着放。总有。

例4 把一棋子放在如右图左下角格内，双方轮流移动棋子（只能向右、向上或向右上移），一次可向一个方向移动任意多格.谁把棋子走进顶格，夺取红旗，谁就获胜.问应如何取胜？

http://s11/middle/51916951tc1645286b37a&690

【思路】倒推法，抢占制胜点。或者找规律：从简单到复杂，递推归纳法，从两行或三行慢慢推导题目要求的。

最高点为F点。甲乙两人，如甲要获胜最后要达到F点，需要控制A点；则乙再走一步怎么都到不了F点。

甲要抢占A点那么以此类推，必须抢占B点，相同的位置。类推得到CDE点。

因为棋子已经在左下角内，那么甲可以先走，到达E点，之后乙无论怎么走，甲都能一步到达dcbaf的其中一个。

万无一失。补充一题：

http://s7/middle/51916951tc16454f8fd56&690

例5 白纸上画了m×n的方格棋盘（m，n是自然数），甲、乙两人玩画格游戏，他们每人拿一枝笔，先画者任选一格，用笔在该格中心处画上一个点，后画者在与这个格相邻（有一条公共边的两个格叫相邻的格）的一个格的中心处也画上一个点，先画者再在与这个新画了点的格相邻的格的中心画上一个点，后画者接着在相邻的格中再任选一格画上一个点，…，如此反复画下去，谁无法画时谁失败.问：先画者还是后画者有必胜策略？他的必胜策略是什么？（注：已画过点的格子不准再画.）

【思路】最好方法是找规律。由简单到复杂。之后分类讨论。

m，n是自然数，不定，不妨选几个小棋盘来试试，以便从中找出规律.

　　1×1棋盘，先画者胜.

　　1×2棋盘，后画者胜.

　　2×2棋盘，后画者胜.

　　2×3棋盘，后画者胜.后画者的策略如下：2×3棋盘，总可以事先分割成3个1×2的小棋盘.后画者采用“跟踪”的方法：先画者在某个1×2的小盘中某个格内画了点，后画者就在同一个1×2小盘中的另一格画点；先画者只得去寻找另外的1×2的小盘，后画者“跟踪”过去；直至先画者找不到新的1×2小盘，这时，先画者就失败.

　　由2×3棋盘的分析过程知：m，n中至少有一个为偶数时，m×n棋盘总可以事先分成一些1×2或2×1的小棋盘，利用上面所说的“跟踪”法，后画者有必胜策略.

　　若m，n都是奇数，先画者事先把m×n棋盘划分成一些1×2小棋盘后，还剩一个小格.这时，先画者可以先在这个剩下的小格中画点，之后，先画者用“跟踪”法，就归结为m、n至少有一个为偶数的情形，先画者有必胜策略.

　　综上所述，当m、n中至少有一个为偶数时，后画者有必胜策略；当m、n都为奇数时，先画者有必胜策略.

例6 现有9根火柴，甲、乙【或乙、甲】两人轮流从中取1根、2根或3根，直到取完为止.最后数一数各人所得火柴总数，得数为偶数者胜.问先拿的人是否能取胜？应怎样安排策略？

【思路】简单入手，找规律。

我们从最简单的情况开始进行考虑.

　　由于9是奇数，它分成两个自然数的和时，必然一个是奇数，一个是偶数，所以两人中必然一胜一负.由于偶数分成两个自然数的和时，必然同奇或同偶，故无论如何取，都只能平局.因此我们只对火柴总数为奇数的情况加以讨论.

　　1.如果有1根火柴，那么先取的人必败，后取的人必胜.

　　2.如果有3根火柴，先取的人可以取2根，后取的人只能取1根，那么先取的人必胜，后取的人必败.

　　3.如果有5根火柴，不妨设为甲先拿.

　　甲先拿1根：

　　①乙拿1根，还剩3根，甲取3根.甲的火柴总数为：1＋3＝4（根），乙的火柴总数为1根，因此甲胜.

　　②乙拿2根，还剩2根，甲取1根，乙取1根.甲的火柴总数为：1＋1＝2（根），乙的火柴总数为：2＋1＝3（根），因此甲取胜.

　　③乙拿3根，还剩1根，甲取1根.甲的火柴总数为：1＋1＝2（根），乙的火柴总数为3根，因此甲胜.

　　因此，如果有5根火柴，先拿的人有必胜的策略.

　　4.下面讨论7根火柴的情形.

　　甲先取了3根：

　　还剩4根，同前面3①～③分析可知甲必胜。

　　因此，有7根火柴时，先取的人有必胜的策略.

　　5.最后讨论9根火柴的情形.

　　①甲先取1根，乙取3根，还剩5根.

　　（a）甲取1根，还剩4根，乙取3根，甲取1根，乙胜.

　　（b）甲取2根，还剩3根，乙取3根，乙胜.

　　（c）甲取3根，还剩2根，乙取1根，甲取1根，乙胜.

　　因此，在甲先取1根的情况下，（乙接着取3根）乙有必胜的策略.

　　②甲取2根时，还剩7根，这时乙面临7根的情形，乙取3根，不论以后甲怎样取，乙都有必胜的策略.

　　③甲取3根时，还剩6根；乙取1根，还剩5根.

　　（a）甲取1根，还剩4根，乙取3根，甲取1根，乙胜.

　　（b）甲取2根，还剩3根，乙取3根，乙胜.

　　（c）甲取3根，还剩2根，乙取1根，甲取1根，乙胜.

　　因此在甲先取3根的情况下，乙只要取1根，不论以后甲怎样取，乙都有必胜的策略.

　　综上所述，先取的人没有必胜的策略，后取的人有必胜的策略.

　　①如果n被4除余0：那么甲第一次走完后应落入4号格，因此甲先走，甲向右移动3格.

　　②如果n被4除余1：那么甲第一次走完后应落入5号格，因而是由乙先走，乙走几格，甲就向右移动4减几格.

　　③如果n被4除余2：那么甲第一次走完后应落入2号格，因此甲先走，向右移1格.

　　④如果n被4除余3：那么甲第一次走完后应落入3号格，因此甲先走，向右移2格.

  【甲先取1根，乙取1；甲3  ； 乙1甲3，乙2甲1乙1，乙3甲1；甲胜

              乙取2；甲1； 乙1甲3乙1，乙2甲3，乙3甲1乙1，甲胜

              乙取3；甲1；乙3甲1， 乙2甲1乙1，  乙1，甲3，甲胜。】