加载中…含有数字6且能被3整除的五位数有多少个？
(2010-07-15 18:32:04)
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杂谈 |
1.含有数字6且能被3整除的五位数有多少个？
由10000至99999这90000个五位数中,共有30000个能被3整除的数. 逐位讨论数字可能的情况：在最高位上,不能为0和6,因此有8种可能情况.在千、百、十位上不能为6,各有9种可能情况,在个位上,不仅不能为6,还应使整个五位数被3整除,因此,所出现的数字应与前4位数字之和被3除的余数有关：当余数为2时,个位上可为1,4,7中的一个；当余数为1时,个位上可为2,5,8中的一个；当余数为0时,个位上可以为0,3,9中的一个.总之,不论前4位数如何,个位上都有3种可能情况,所以由乘法原理知,这类五位数的个数为8×9×9×9×3=17496,因此,含数字6而又被3整除的五位数有30000-17496=12504个.
2.能被3整除，同时含有数字3的5位数有多少个？
有一个公式如下：
N为数字位数
3×10^(n-1)-8×9^(n-2)×3（n为正整数）
F(n)= 3 * 10^(n-1) - 8 * 9^(n-2) * 3 在n > 1时成立，但F(1) = 1
3* 10^(n-1)是n位数中所有能被3整除的数的个数。
8* 9^(n-2) * 3是n位数中能被3整除的中间不含3的数的个数，解释如下：这个n位数，前面n-1位可以任意排列而不用管它是否被 3整除，只要最后一位能与前面的数组合起来能被3整除即可。前面n-1位数中，最高为只能为1到9，中间不包含3，共8种可能。中间各位数字可为0至9， 中间不包含3，每位都有9种可能。下面主要讨论最后一位。由于被3整除的数各位数字之和也被3整除，所以把前n-1位加起来，得到一个数，假如为m，要整 个数能被3整除，则m与最后一位数的和被3整除。而m除以3的余数可以为0、1、2三种，无论是哪个余数，最后一位都有3种可能与m相加后能被3整除，当 然最后一位不包含3。比如，m被3整除，则最后一位可为0、6、9；m除以3余1，则最后一位可为2、5、8；m除以3余2，则最后一位可以为1、4、 7。总之，就是最后一位只有三种可能使整个数能被3整除，且数字中不含有3。所以，n位数中不含3且能被3整除的数就为8*9*9*...*9*3，中间 的9有n-2个。
最后答案
8*9*9*9*3=17496
30000-17496=12504
3.至少有数字1，并且能被4整除的四位数有多少个？
首先分类 只要后两位能被4整除那么这个数就能被4整除 这个明白吧?
100以内 不包括100可被4整除的有24个(这个明白吧)其中带一的只有12 16两个
而后两位是00的 大于三位的数字逗可以被4整除 分析完了 开始分类
一 后两位是00的 有9+10-1 18个 (9千位是一的 10百位是一的 千百位都是一的有个重复的 在三里面有详细的分类做法)
二 后两位是12或16的 有9*10*2 180个(C九 一,C十 一,C二 一)
三 后两位不是12 16且是能被四整除的(二十二个) 分小类
a 百位是1千位不是1的8*22 176
b 千位是1百位不是1的9*22 198
c 百位千位全是1的 22 22
abc 可以按照一里面做法不单独讨论 这里是为了详细明了单独讨论的
共594个
4.能被3整除但不含数字3的四位数有几个？（1944）
5.写出1~999间能被3整除且含有5的所有数？
6. 满足 能被3整除，同时含有数字4 的5位数 有多少个？
取n位数除以3余数为i且这个数里含4的个数为B(i,n) 且对于任意的n位数只需讨论从10^(n-1)到999...9 这9*10^(n-1)个数 将这些数分成三类3k-2,3k-1,3k 且易知道每一类数含个数为 3*10^(n-1) 这三类数除以3的余数为1，2，0 则对于1位数有B(0,1)=0,B(1,1)=1(4可以),B(2,1)=0 现在讨论其三数组的关系 讨论思想为在n-1为数的基础上在其末尾加一个数变成n位数 A(n)表示n为数： A(n-1) (加数余0) （加数余1） （加数余2） 3k-2 {2,5,8} {0,3,6,9} {1,4,7} 3k-1 {1,4,7} {2,5,8} {0,3,6,9} 3k {0,3,6,9} {1,4,7} {2,5,8} 加数为末尾加数：这里相当于B(0,n-1),B(1,n-1),B(2,n-1)已知 求B(0,n):对于3k这种数要加数且被3整除且含4有 4*B(0,n-1) 对于3k-1这种数分两种情况(1)末尾有4 则每一个这种数为所求 就有3*10^(n-2)个,(2)末尾不含4，有2*B(2,n-1) 对于3k-2这种数就有3*B(1,n-1) 所以有 B(0,n)=4*B(0,n-1)+3*B(1,n-1)+2*B(2,n-1)+3*10^(n-2) 同理 B(1,n)=2*B(0,n-1)+4*B(1,n-1)+3*B(2,n-1)+3*10^(n-2) B(2,n)=3*B(0,n-1)+2*B(1,n-1)+4*B(2,n-1)+3*10^(n-2) 下面希望你学过线性代数 取B(n)=[B(0,n),B(1,n),B(2,n)]'('表示转置) C(n)=3*10^(n-1)*[1,1,1]' .....|4 3 2| Q= |2 4 3|为一个3×3的矩阵 .....|3 2 4| 有B(n)=Q*B(n-1)+C(n-1) C(1)=3*[1,1,1]',B(1)=[0,1,0]' 接下来就是算 可得B(2)=[6,7,5]';B(3)=[85,85,82]' B(4)=[1059,1056,1053]';B(5)=[12510,12501,12501]'; B(6)=[142545,142527,142536]'; B(7)=[1582833,1582806,1582833]'.. 你要的是5位数的就是B(5)的第一个12510
8.
A、B两地相距125千米，甲、乙两人骑自行车分别从a，b两地同时出发，相向而行，丙骑摩托车每小时行63千米，与甲同时从a地出发，且在甲、乙二人之间来回穿梭（与乙相遇立即返回，与甲相遇立即返回），若甲车速度每小时9千米，切当丙回到甲处时（甲兵两人同时出发时的第一次为丙第0次回到甲处），甲乙二人相距45千米，问：当甲、乙两人相距20千米时，甲丙两人相距多少千米？
（主要方法是正比例的解法）
我发现，每次出发到甲丙相遇时，相遇时甲乙之间的距离和出发时两人之间的距离比是定值。
因此就有甲丙第一次相遇时，甲乙之间的距离ｘ满足：
ｘ:125＝45:ｘ，解得ｘ＝75千米。
所以甲丙第一次相遇时，甲乙共行了125－75＝50千米。
不难算出乙的速度是每小时7千米。
继 续前行。甲丙相遇时，甲乙之间的距离会出现125、75、45、27、16.2……
问题是相距20千米的条件下，因此是第三次相遇到第四次相遇之间。
甲丙第三次相遇和第四次相遇的时间是（27－16.2）÷（7＋9）＝27/40小时
根据每次乙丙相遇的时间占每次甲丙相遇时间的4/7（这个易得到），也易得到当甲乙相距20千米时，是乙丙相遇后的一段路。
因此，甲丙相距（20－16.2）÷（7＋9）×（63＋9）＝17.1（千米）
【解答】甲丙每次相遇时甲乙相距的路程和这次 相遇出发时甲乙的初路程的比是一个定值，所以第一次相遇时路程是125和45的比例中项，即第一次相遇时甲乙相距75千米。
先规定从出发到甲丙第一次相遇的几个关键点： 乙丙相遇于F地，甲行到C地；甲丙相遇于D地，乙行到E地。很容易知道AC：CD＝AF：DF＝BF：EF＝（63＋9）： （63－9）＝4：3，DE＝75千米，EF是3份，EB是7份，AD是1份多25千米，推出25千米相当于8份，得到AD：BE＝ （8＋1）：7＝9：7，可以算出乙的速度是7千米。
以后甲丙相遇时甲乙的距离分别是27千 米，16.2千米，……，当甲乙相距20千米时，是甲丙第三次相遇和第四次相遇之间，并且接近第四次相遇时，所以甲丙相距（20－16.2）÷ （7＋9）×（63＋9）＝17.1千米。
http://s3/middle/51916951t8b6bd5415d62&690
http://s13/middle/51916951t8b6bd5ac40ec&690
上述求解过程首先利用比例关系求出GH的长度，即丙第一次回到甲处时甲、乙两人的距离，因为只有知道了GH的 长度，我们才有可能去找出乙所走的路程与甲所走的路程之间的比例关系，籍此得到乙的速度。
知道了G、H之间的距离，再利 用其中的比例关系，就可以求得乙的速度与甲速度的比，因为甲速度已知，求出了甲、乙速度比，也就求出了乙的速度。在这个求解过程中，需要强调的是每一个相 同的时间内，甲、乙所走的路程之比的比值是不变的。
有了乙的速度，再求本题的解就不难了。先求乙的速度，设乙的速度为甲的K倍，丙与乙相遇时甲行S千米，则这时丙行7S千米，乙行KS千米，于是 7S＋KS＝125(1)
这时甲丙相距6S(＝7S－S)千米，丙第一次回到甲处时，甲又向前行6S＋ (7＋1)＝http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143603275.gifS(7－K)(2)
即(将(1)代入(2)消去S)
http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143603397.jpg
http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143604517.gif×125(千米) ⑶
【注】(3)中的125，如果改成其他数(例如A、A两地原来相距250千米)．推导完 全一样，于是，在丙第二次回到甲处时，甲、乙相距
http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143604416.gif×125(千米) (4)
(推导与上面完全一样，只是125千米换成了http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143604378.gif×125千米)
根据已知条件：http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143605948.gif×125＝45⑸
即：http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143605797.gif(6)
于是(只取正值) http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143606495.gif(7)
从而 K＝http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143606224.gif
即乙的速度是每小时：http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143607692.gif×9＝7(千米)
当丙第三次回到甲处时，甲、乙相距 http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143609568.gif×45＝27(千米)．
丙第四次回到甲处时，甲、乙相距 http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143610598.gif＜20(千米).
因此，甲、乙相距20千米发生在丙第四次回到甲处之前，即他们都应从丙第四次回到甲处这 事往回倒退。由于
20－http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143612137.gif，
而甲、乙速度之比是9∶7．所以甲应退 http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143612667.gif
丙的速度是甲的7倍，所以丙应退甲的7倍，
从而在甲、乙相距20米时，甲丙相距 http://www.shuxueweb.com/aoshu/UploadFiles2007/200807/20080731143613848.gif(千米)
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