奥数中的牛吃草问题

 

牛吃草问题

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牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度．牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.

牛吃草问题和行程问题中的追及问题类似。下面给出几例牛吃草及其相关问题．

例1、牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？

【分析】解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量是由两部分组成的：（1）某个时间期限前草场上原有的草量；（2）这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量。因此，必须设法找出这两个量来。（如图）。从右面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量。27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛一周吃草量。23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量。这样一来可以认为每周新生长的草量相当于（207－162）÷（9－6）=15头牛一周的吃草量。

需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量即为牧场原有的草量。所以牧场上原有草量为26×6－15×6=72头牛一周的吃草量。

牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分。一部分看成专吃牧场上原有的草，另一部分看成专吃新生长的草。但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）。故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21－15=6头牛去吃原有的草。所以牧场上的草够吃72÷6=12周，也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周。

方法二：解决此类问题列方程会比较简单。用到一个公式：

草场草量＝（牛数－每天长草量）×天数。以此题为例：

设每头牛每周的吃草量为“1”，草的生长速度为x，则：

（27-x）×6=（23-x）×9，解得：x=15。草场上原有草：（23-15）×9=72.可供21头牛吃72÷（21-15）=12周。

方法三：我们可以将“牛吃草问题”看成追及问题，将题目等价的该一下说法：甲、乙、丙从A，丁从B地同时同向出发，甲每小时走27千米，6小时追上丁，乙每小时走23千米，9小时追上丁，丙的速度是21千米/小时，问丙几小时追上丁？解法如下：

如图，乙追上丁时比甲追上丁时，丁多走了23×9-27×6=45千米，所以丁的速度是45÷3=15千米/小时，路程差是（27-15）×6=72千米，因此丙的追及时间是72÷（21-15）=12小时，即够21头牛吃12周。

例2、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

【分析】总水量随漏水的延长而增加。所以总水量是个变量。而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的。船内原有的水量也是不变的量。如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”，则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数，即1×3×10=30。船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。

每小时的漏水量为（40－30）÷（8－3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水量）。船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量－3小时漏进水量，3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量。所以船内原有水量为30－2×3=24。如果这些水要2小时淘完，则需24÷2=12人。但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需要12＋2=14人。

例3、有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？

【分析】设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，则：

，解得：x=5，原有草：（10-5）×20=100.可供100÷4+5=30头牛吃4天。

例4、12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场每天生长草量相等）？

【分析】12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原来的牧草加上28天新生产的草可供12×28÷10=33.6头牛吃一天。21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于1公亩原有的草加上63天新生长的草可供63×21÷30=44.1头牛吃一天。

1公亩一天新生长的牧草可供(44.1－33.6)÷(63－28) = 0.3头牛吃一天，1公亩原有的牧草可供33.6－0.3×28=25.2头牛吃一天，

72公亩原有牧草可供72×25.2÷126=14.4头牛吃126天，

72公亩每天新生长的草量可供72×0.3=21.6头牛吃一天，

所以72公亩牧场上的牧草可供14.4＋21.6=36头牛吃126天.

方法二：此题也可以用方程来解。设每公亩上新生长的草可供x头牛吃一天，每公亩的原有草为y，则：

，解得： 。

72×25.2÷126+0.3×72=36头牛126天可以吃完72公亩的草。

例5、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

【分析】例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。［5，6，8］＝120。因为 5公顷草地可供11头牛吃10天， 120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。120÷8＝15，问题变为： 120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？

因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？”

这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有

（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）×10＝840（份）。可供285头牛吃840÷（285—180）＝8天。

例6、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

【分析】与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。

设1头牛1天吃的草为“1”。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草　　（20＋10）×5＝150（份）。由 150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。

例7、一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

【分析】由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15头牛每天的吃草量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天吃草量相等。草地原有草量与20天新生长草量可供16×20=320头牛吃一天，80只羊12天的吃草量可供80÷4×12=240头牛吃一天，每天新生长的草量够（320－240）÷（20－12）=10头牛吃一天，原有草量可够320－20×10=120头牛吃一天，原有草量可供10头牛与60只羊吃120÷（60÷4＋10－10）=8天。

例8、哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？

【分析】此题类似行程问题里的流水行船问题，扶梯的级数=为100-x(在此时间内扶梯走的级数)=50+x，因此扶梯的级数为（100+50）÷2=75级。

例9、两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？

【分析】男孩100秒走3×100=300（级），女孩 300秒走2×300＝600（级），说明扶梯每秒走（600－300）÷（300－100）=1.5（级）。扶梯共有（3－1.5）×100=150（级）。

例10、自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍。已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部，问扶梯露在外面的有多少级？

【分析】女孩走18级的时候男孩走了36级，到达的高度是27级的 ，此时男孩比女孩多走了扶梯的 -1= ，因为男孩的速度是女孩的2倍，所以女孩走的18级相当于扶梯长的 ，扶梯长18÷ =54级。

例11、一片草地每天长的新草一样多，羊和鹅吃草总量和正好是牛吃草总量。如果草地放牧牛和羊，可吃45天；如果放牧牛和鹅，可吃60天；如果放牧羊和鹅，可吃90天。若这片草地放牧牛、羊、鹅可吃多少天？

【分析】以牛每天吃的草量为1份，设羊每天吃草x份，则鹅每天吃（1-x）份，牛、羊45天吃草（1+x）×45份，牛、鹅60天吃[1+(1-x)]×60=120-60x份，羊、鹅90天吃[x+(1-x)]×90=90份，这片草地每天新长出的草量为[（1+x）×45-(120-60x)]÷(60-45)=5-7x份，还等于[90-（1+x）×45]÷(90-45)=1-x份，因此，5-7x=1-x，解得：x= ，原有草加上90天新长出的草共90份，原有草：90-（1- ）×90=60份，因鹅每天吃草量等于新长出的草量，所以可供他们吃60÷（1+ ）=36天。

 

 

 

 

 

 

 

 

1、一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长.这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天.问：可供25头牛吃多少天？

 

 

 

2.22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完.17头牛吃28亩同样的草地上的草，84天可以吃完.问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）？

 

 

 

3.有一牧场，17头牛30天可将草吃完.19头牛则24天可以吃完.现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完.问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？

 

 

 

4.现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘.若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干.问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？

 

 

5、有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？

 

 

 

6、有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？

 

 

7、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）

 

 

 

8、动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？

9、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

 

 

 

10、有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

 

 

 

11、两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？

 

 

 

 

12、有一牧场，17头牛30天可将草吃完；19头牛则24天可以吃完。现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完。问：原来有多少头牛吃草（草均匀生长）？

 

 

 

13、哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级。在相同的时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级。如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？