抛物线焦点弦的常见性质探究

 作者：汤艳丽

     在新课标教材中，《圆锥曲线部分》删除了圆锥曲线的第二定义，在对抛物线的定义中体现了圆锥曲线的第二定义。因此，对抛物线性质的研究为其他两种圆锥曲线的研究有着十分重要的作用。本文将通过对抛物线焦点弦性质的探究，一方面加深对抛物线定义的应用；更重要的是通过对性质的证明，贯穿解析几何坐标法思想和运用平面几何知识，为我们研究圆锥曲线提供方法。

设过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于

【性质1】 （1） 焦点弦长 =x₁+x₂+p    

（2） 焦点弦长   （ 为直线AB的倾斜角） （证明见性质2）

           （3） 焦点弦长       (通径是焦点弦中最短的) （证明见性质2）

【证明】 （1）如图设抛物线的准线为 ，作于                

由定义

.

两式相加即得：

【性质2】   （定值）  

方法一（定义法）：证明:由过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为 得:

 ∴ ，

∴ ，

= ≥2p

当且仅当 =90⁰时取等号,即弦AB为抛物线的通径时它的长度最小且为2p

方法二 （坐标法）： 当AB⊥x轴时，有

成立；

当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为： .代入抛物线方程：

.化简得：

∵方程（1）之二根为x₁，x₂，∴ .

.

故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有 成立.

方法三（几何法）：设 与 轴交于点E，

∵MN∥EF，∴∠MNF=∠NFE，

∴Rt△NFM∽Rt△FEN，

∴ ，

∴

，

∴ 。

【性质3】设抛物线的方程为 ，弦AB所在直线的斜率为 （ ≠0），

则 y₁.y₂= p²(定值)，  y₁+y₂=       (定值)

证明：方法一：（1）当斜率不存在时，易验证满足条件。

            （1）当斜率存在时，设AB直线方程为

和

和 。

证法二：设AB：x=my+ ，代入y²=2px，得y²－2pmy－P²=0

由韦达定理，得y_Ay_B=－p²， 即y_B=－

【性质4】 以AB为直径的圆必与准线相切   （若M为A₁B₁的中点则MF⊥AB）

证明：

C

D

A

B

F

y

x

E

M

方法（一）证明：如图，M为AB 的中点，过A，M，B作准线的垂线，

垂足分别为C，E，D，则AC∥BD∥ ME

∵ M为AB的中点

∴ M到准线的距离

= （ = （ + ）=

这表明圆心到准线的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切

证明：方法二：  证明：当AB垂直X轴时，显然有MF⊥AB; 当AB不垂直X轴时，M （-

B1

O

A

B

F

y

x

A1

M

又由性质3知y₁+y₂=

∴M(- 且K_MF=     

∴ · =-1从而 MF⊥AB

【性质5】 以抛物线焦半径为直径的圆与Y轴相切  

           以抛物线焦半径 为直径的圆与Y轴相切。

证明： ，设AF的中点为D，则D（

       ∴D到Y轴的距离等于 = ，

 这表明D到Y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径的圆Y轴相切

同理可证 为直径的圆与Y轴相切。

【性质6】 过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A₁，B₁，则A₁F⊥B₁F      

证明：方法（一）设抛物线方程为y²＝2px（p＞0）.如图，

由抛物线定义知

｜AF｜＝｜AA₁｜，｜BF｜＝｜BB₁｜，

∴∠AA₁F＝∠AFA₁，∠BB₁F＝∠BFB₁，

又AA₁∥x轴∥BB₁，

∴∠AA₁F＝∠A₁FF₁，∠BB₁F＝∠B₁FF₁，

∴  ∠A₁FＢ₁＝90°.

证明：方法（二）证明：设A₁（- ，B₁（- ，

则 =  ,  =

     ∴ · =    又由性质3知y₁y₂=-p²

     ∴ ·  =-1    即A₁F⊥B₁F

【性质7】  过抛物线 的焦点F的一条弦AB , 记准线与x轴交点为E,，则    （ ）

 

_

y

_

A

_

E

B

F

x

_

F

证明：方法一：

 

 

 

 

 

 

方法二：证明：分别过A、B做X轴垂线，垂足为 ,可知 ,

       又因为

       又因为

      所以 

【性质8】 设抛物线y²=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴 证明直线AC经过原点O

分析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证k_OC=k_OA 本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决

证明：方法一：设AB：x=my+ ，代入y²=2px，得y²－2pmy－P²=0

由韦达定理，得y_Ay_B=－p²， 即y_B=－

∵BC∥x轴，且C在准线x=－ 上，∴C（－ ，y_B）

则k_OC= = = =k_OA    故直线AC经过原点O

方法二：如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D

则AD∥EF∥BC 连结AC交EF于点N，

则 = = ， =

∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，   ∴|EN|= = =|NF|，

即N是EF的中点 从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O

 

本文通过对抛物线焦点弦常见性质的探究，自始至终贯穿解析几何的坐标法基本思想，充分利用了平面几何知识突出“几何味”；为我们研究圆锥曲线几何性质提供的重要的思想方法 和途径。

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