圆中常见辅助线的添加（归纳分析）
常说“辅助线是几何的生命线”，可见添加辅助线的重要，而圆这一章涉及面广，综合性强，大多数解题往往是围绕“如何添加辅助线”展开的，下面从具体实例谈谈圆中如何添加辅助线。
一、解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”和用垂径定理相关知识解题。
例1：已知：如图一，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为F。
求证：⑴EC＝DF
⑵当EF向下平移时，若与AB相交，其它条件不变，那么CE是否与DF相等？［相等，证法与（1）同］
证明（1）
（变式练习）例2：已知：如图二，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE、DF⊥AB于E、F。
求证：AE＝BF
略证：作OK1⊥CD于K1，证法与上相仿。
二、涉及弦长半径、弓形高、弦心距、弧长、圆心角等相关量计算时，常构造直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解题。在处理圆与圆的公切线长a，两圆半径（R、r），圆心距d等相关量的计算问题时，亦属构造直角三角形解题。
即此弦中点到这弦所对劣弧的中点距离为1cm。
例4：（2002北京西城区）“圆材埋壁”是我国古代茂名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达为“如图四，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长？
略解：连OA，在Rt△AEO中，设OA＝r，则OE＝r-1，AE=5（寸）
由勾股定理知：
即直径CD的长为26寸。
例5：如图五：⊙O1、⊙O2外切于点A，外公切线BC、DE分别与⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，并相交于点P。已知∠BPD＝60°。
⑴求⊙O1与⊙O2半径的比。
三、圆中出现直径时，常添加辅助线，构成直径上的圆周角，以便利用直径上的圆周角是直角的性质。
例6：如图六，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，求证：AB·AC＝AE·AD
四、在解有关圆的切线问题时，常作出过切点的半径，以便利用切线的性质定理。
例7：如图七，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB。
分析：（1）连结OC
五、在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。
例8：如图八，点I是△ABC的内心，AI交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E，求证：IE是AE和DE的比例中项
略证：连结BI、BE
六、两圆相切时，可作过切点的公切线，它对两圆起着一个“桥梁”的作用，对于每一个圆，公切线都会产生切线的性质，另外，公切线和过切点的两圆的弦会产生弦切角定理运用的前提。
例9：已知如图九、十：⊙O1、⊙O2相切于点T，直线AB、CD经过点T交⊙O1于点A、C，交⊙O2于点B、D。求证：AC∥BD。
七、两圆相交、相切时常连结公共弦、连心线等。利用连心线垂直平分公共弦这一性质。
例10、如图十一、十二，半径为5cm和4cm的两圆相交于A、B两点，AB＝6cm，则两圆的连心线⊙O1、⊙O2的长是多少？
八、添加辅助圆证题。
例11：如图十三，在△ABC中，OA＝OB＝OC。求证：△ABC是Rt△。
如图十四，在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C
在解决与圆的性质有关的问题时，通常可以考虑添加什么样的辅助线？
（1）遇到有弦时，常常添加弦心距，以便利用垂径定理或圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系的定理等；
（2）遇到有直径时，常常添加（画直径所对的圆周角，将直径条件转化为直角条件，遇到有切线时，常常添加经过切点的半径，以便利用切线的性质定理；
（3）遇到两圆，常常添加经过点的半径，以便利用切线的性质定理；
（4）遇到两圆，常常添加它们的连心线，以便密切两圆之间的联系；
（5）遇到两圆相交，常常添加它们的公共弦；
（6）遇到两圆相切，常常添加它们的公切线，以便利用切线的性质或弦切角定理；
（7）遇到四边形对角互补，或两个三角形同底同侧并有相等顶角时，常常添加辅助圆，以便利用圆的性质。
加载中，请稍候......
加载中…
(2009-06-06 09:26:36)