【题目】一个正方形，可正好分解成多少个小正方形？

【答案】

4－1＝3＝3×1

6－1＝5＝8×1－3×1

7－1＝6＝3×2

8－1＝7＝24－8－3×3

我们给出了3n（6），3n＋1（7），3n＋2（8）的基本分割法，其他所要求的8以上数目的小正方形可按上述3种基本分割法，通过k＝3变形得到。因此，一个正方形可正好分解成4、6及6以上个小正方形。

【过程分析】

仔细分析一下，不难发现：

如果能有满足下式的P，则可分解。

P－1＝3n₁+8n₂+15n₃+.....

（P ＝所求的小正方形数目；n₁,n₂,n₃为自然数；3，8，15为n²－1)

说明：

1、最简单的情况，将大正方形的每边n等分，可生成n²个小正方形，如4，9，16，25……

2、取其中1个正方形进行再分解，则新生成n²个小正方形（如2×2＝4），原来的正方形消失，所以每次分解可认为因替换而增加n²－1个正方形（3＝4－1）。我们所求的小正方形的数目是由大正方形经过若干次这样的分解得到的，所以容易理解上面的式子。

3、举例, 一个正方形，如何正好分解成12个小正方形？

12－1＝11＝8×1＋3×1

就是说一个正方形经过1次3×3和1次2×2分解可以得到12个小正方形（具体分法略）

4、以上仅仅考虑可大正方形分解成小正方形，而没有考虑到分割成小正方形后能不能再重新组合成新的正方形？答案显然是可以的，如

6－1＝5＝8×1-3×1

【结论】

1、若正方形能分解成K个小正方形，则必能分解成1＋n(K-1)个小正方形,n是自然数。推广到一般情况：若已知正方形能分解成K1,K2,K3,K4....个正方形,则必能分解成1＋n₁(K₁-1)+n₂(K₂-1)+n₃(K₃-1)+.....个正方形（n₁,n₂,n₃,=0,1,2,3.....)。

2、若正方形能分解成K个小正方形，且还能正好分解成m, m+1,m+2,m+3,……m+(K－1)个数目的小正方形，则m个以上的小正方形都可正好分解。