为什么用乘法？

河南省鹤壁市淇滨小学    牛小永

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开学初，和市教研员一起听了一节北师大版五年级数学《分数乘法(二)》。这位教师非常注意引导学生理解今天学的分数乘法（二）与原来学的分数乘法（一）意义上的不同，在练习时也很注重训练学生口述类似6×1/2的两种不同意义，受到了教研员的肯定。但同时教研员也指出分数乘法的意义学生并没有真正理解，只不过是能比葫芦画瓢用数学语言表达了。在课后交流时我也提出自己的观点：学说会说6×1/2、6×1/3表示的两种意义就表示学生理解分数的意义了吗？不见得。在具体情境中（如妈妈今年32岁，小红的年龄是妈妈的1/4，小红今年多少岁？）学生能正确的选择乘法，但是他知道为什么要用乘法吗？

由此，我又想到了在我的博客中曾经有过关于分数乘法（三）中“为什么用乘法”的疑问。

北师大版小学数学五年级下册分数乘法（三），先出示了我国古代著名哲学著作《庄子·天下》中的一段话：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”让学生感受我国文化的源远流长。接着让学生自己动手操作，依次折出长方形纸条的1/2， 1/2的1/2，再取1/2，初步感受分数乘分数的意义和计算方法。我研究了大量有关这一课时的教学设计或教学实录，都是让学生自己先根据题意列式，学生自己列出1/2×1/2，然后老师问这里的分数乘分数表示什么？我想，这不是本末倒置吗？学生还不知道分数乘分数的意义，怎么会自己列式呢？应该是知道了分数乘分数的意义（表示求一个数的几分之几），然后根据意义列出算式。我经常问自己，如果有学生追问，这里为什么用乘法？该怎么向学生解答？

为什么用乘法？回到教材分数乘法（二）中来解释（我个人一直认为，对于小学生不要过于强调“意义”这个抽象的词语，只要他能结合具体情境讲清为什么用乘法即可）。在分数乘法（一）中解释这个问题似乎不难。如：教材第2页第1题：一个图片占一张彩纸的1/5，3个图片占这张彩纸的几分之几？教学时，学生很容易理解题目的意思是求3个1/5的和是多少？进而列出算式1/5×3或3×1/5。这是因为乘法知识的生长点是 “求几个相同加数的和”。事实上由加法引入乘法在自然数范围内很起作用，但这一定义中“几个”必须是不为零的自然数才好理解，所以出现分数和小数以及负数乘法时，这种用“求几个相同加数的和”来定义乘法就显得很难理解。比如在分数乘法（二）中“小红有6个苹果，淘气的苹果数是小红的1/2，淘气有多少苹果？”（教材第5页）受整数乘法意义的影响，让学生理解6×1/2也可以表示“6的1/2是多少”非常困难。实际上用“求几个相同加数的和”对乘法作解释只是乘法意义解释之一。

为了让学生真正理解一个数乘分数的意义，根据我个人对教材的理解，教学时要特别强调通过直观图引导学生理解题目的意思（求淘气有多少苹果，就是要把6个苹果平均分成2份，求其中的1份是多少个。为了便于叙述，根据分数的意义可以说成求6的1/2是多少）。然后不要急于让学生列式，而是通过画图让学生看明白6个苹果的1/2是3个苹果（学生也可能用6÷2＝3）。在此基础上再有意引导学生另一种解决问题的方法：把每个苹果都平均分成2分，淘气的苹果个数相当于6个1/2，也就是6×1/2或1/2×6，从而解决了问题。最后，再引导学生比较：从图上看今天我们要求的是“6的1/2是多少”，和分数乘法（一）中学的“6个1/2”是多少意义明显不同，但是结果相同。从而让学生初步体会到求“6的1/2是多少？”也可以用6×1/2或1/2×6求得结果。也就是说6×1/2或1/2×6不仅可以解决“6个1/2是多少”的问题还可以解决“6的1/2是多少”的问题。这里理解了“求一个整数的几分之几可以用乘法来解决”到学习分数乘法（三）时就不会再有为什么用乘法的困惑了。

这里还要强调两点：一是对于分数乘法意义的理解一定要借助示意图，让学生真正明白分数乘法的两种不同含义，尽量避免针对单纯的算式去讲什么意义。二是所以要借助大量的情境让学生去体验，一两个例子不足以说明问题。在这一点上美国加州的教材就非常注意用大量的素材反复向学生说明乘法的意义。

总之，乘法意义的解释本身是意蕴丰富的，应该鼓励学生在具体情境中充分领悟运算的意义，让学生在后续的学习中充分丰富对乘法意义的理解。也许我的理解有悖于编者意图，但是，我想对于学生来说这样处理容易真正理解分数乘法的意义。