一、假设条件
对计算债券的内在价值(贴现值),为了方便,假定债券不存在信用风险,也不考虑通货膨胀对债券收益的影响,从而对债券的估价可以集中于时间的影响上。
二、货币的终值和现值
债券投资的目的在于投资者在未来的某个时点可以取得一笔已发生增值的货币收入,因此,债券当前价格可以表示为投资和为取得这笔未来收入目前希望投入的资金,根据这一思路,便引进了货币的时间价值、终值、现值等概念。
使用货币按照某种利率进行投资的机会是有价值的,该价值被称为“货币的时间价值”。假设当前使用一笔金额为Po的货币,按某种利率投资一定期限,投资期末连本带利累计收回货币金额为Pn,那么称Po为该笔货币的现在价值,简称“货币的现值”,称Pn为该笔货币的期末价值,简称“货币的终值”。
1、 货币终值的计算。假定当前一项投资的期限为n期,每期利率为r,那么该项投资第n年末时分别按复利和单利计算的终值依次为:
式一:Pn=Po(1+r)^n
(^n符号代表n次方)
式二:Pn=Po(1+r×n)
例如:某人投资1000元于年息10%,为期5年的债券(按年计息),计算此项投资的终值。
复利终值为:P=1000×(1+10%)^5=1610.51(元)
单利终值为:P=1000×(1+10%×5)=1500(元)
可见单利计息的终值比复利计息的终值来得低。
2、现值的计算。根据终值与现值的逆运算关系,从式一和式二可以得出复利与单利的现值公式依次为:
式三:Po=Pn/(1+r)^n
式四:Po=Pn/(1+r×n)
例如:某投资者从现在起的7年后收入为500万,期间不形成任何货币收入,假定投资者希望的年利率为10%,则投资的现值为:
复利现值:Po=5,000,000/(1+10%)^7=2,565,790.59(元)
单利现值:Po=5,000,000/(1+10%×7)=2941176.47(元)
可见,在其他条件相同的情况下,按单利计算的现值要高于用复利计算的现值。这种根据终值求现值的过程称作“贴现”。
现值一般有两种特征:第一,当给定终值时,贴现率越高,现值就越低;第二,当给定利率及终值时,取得终值的时间越长,该终值的现值就越低。
三、一次还本付息债券的定价公式
收入的资本化定价方法认为,资产的内在价值等于投资者投资的资产获得预期现金收入的现在价值。运用到债券上,债券的内在价值即等于来自债券的预期货币收入按某个利率贴现的现值。在确定债券内在价值时,需要估计预期货币收入和投资者要求的适当收益率(称“必要收益率”)。
债券的预期货币收入不外乎两个来源:息票利息和票面额。债券的必要收益率一般是比照具有相同风险程度和偿还期限的债券的收益率得出的。
对于一次还本付息的债券来说,其预期货币收入是期末一次性支付的利息和本金,必要收益率可参照可比债券得出。
如果一次性还本付息债券按单利计息、单利贴现,其内在价值决定公式为:P=M(1+i×n)/(1+r×n)
如果一次性还本付息债券按单利计息、复利贴现,其内在价值决定公式为:P=M(1+i×n)/(1+r)^n
如果一次性还本付息债券按复利计息、复利贴现,其内在价值决定公式为:P=M(1+i)^n/(1+r)^n
其中P--债券的内在价值;M--票面价值;i--每期利率;
n--剩余时期数; r--必要收益率。
上述公式的分子代表最终的货币收入,为资本利得(卖出价格与买入价格之差)与利息收入之和。
例如:某债券票面金额为1000元,年利率为10%,投资者期望必要收益率为12%,投资期为5年,按单利计息,单利贴现,则该债券的内在价值为:P=1000(1+10%×5)/(1+12%×5)=937.5元。即该债券的内在价值为937.5元,投资者以该价格购入该债券,5年后将获得1500元收入,且必要收益率为12%。该债券票面收入为62.5元,利息收入为500元。
贴现债券也是一次性还本付息债券,只不过利息支付是以债券贴现发行、到期按面值偿还的方式,于债券发行时发生,所以可把面值视为贴现债券到期的本息和。进而参照上述一次还本付息债券的估价公式,可计算出贴现债券的内在价值。
例如:某贴现债券票面价格为1000元,并且最终到期后以1000元价格从投资者手中回购,投资者必要收益率为10%,投资期限为5年。则该贴现债券的内在价值为(均以单利计算):P=1000/(1+10%×5)=666.67元,即该贴现债券的内在价值为666.67
四、附息债券的定价公式
对于按期付息的债券来说,其预期货币收入有两个来源:到期日前定期收到息票利息和票面额。其必要收益率也可参照可比债券确定。
对于一年付息一次的债券来说,按复利贴现和单利贴现的价值决定公式分别为:
P=C/1+r+C/(1+r)^2+C/(1+r)^3+...+C/(1+r)^n+M/(1+r)^n
=∑C/(1+r)^t+M/(1+r)^n
P=∑C/(1+r×t)+M/(1+r×n)
其中:P--债券的内在价值,即贴现值。
C--每年收到的利息;M--票面价值;n--剩余年数;
r--必要收益率; t--第t次,0<=t<=n。
对于半年付息一次的债券来说,由于每年会收到两次利息,因此,在计算其内在价值时,要对上面两个公式进行修改。第一,贴现利率采用半年利率,通常是将给定的年利率除以2;第二,到期前剩余的时期数以半年为单位计算。通常是将以年为单位计算的剩余时期数乘以2。公式在形式上看以一年期的依然相同,只不过其中的r为半年必要收益率,n为半年一算。
对于其它期限付息的附息债券其内在价值定价公式也类似。
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