（1） 有余数除法及其应用

有余数除法是指整数除法中，被除数除以除数不能得到整数商而有余数的除法。在有余数除法中，商和余数都是整数，可以用“被除数÷除数=商……余数”这样的算式表示，如23÷5=4……3。该算式是用“商和余数”表示有余数除法结果的书写形式，但不是等式，“4……3”既不是数也不是式，只能作为有余数除法的计算结果。

有余数除法是可以直接应用于所求结果是“最多”和“剩余”的一类应用题的解答，如孙老师文章中所引用的×××版教材中的题：篮球单价40元，花900元可以买多少个？还剩多少元？由于该题满足“有余数除法”的条件，就可以通过竖式计算出商和余数，直接写出900÷40=22……20的算式。

（2） 小数（分数）除法没有余数。

小数除法中由于商可以是小数，若所得商是有限小数，最终被除数是会被除数除尽而没有余数；若商是无限小数，可将小数除法化为分数除法，而分数除法所得商是确定且唯一的，被除数能被除尽也没有余数。因此才有了“有余数除法”只存在于整数运算中。

（3）“数学问题”的求解不能写成“1.7÷0.2=8……0.1”.

数学问题尽管也是求“最多”和“剩余”，但列出的1.7÷0.2是小数除法没有余数，题中“还余多少厘米”不能当成余数来求，也就不能将所求问题的答案看做“商和余数”，竖式计算后直接写出1.7÷0.2=8……0.1的算式是不妥的。

（3） 小数除法竖式运算中习惯称谓的“余数”不是真正的余数。

在小数除法中，商计算到十分位、百分位……，都会存在与其对应的被除数余下的数。如1.5÷0.4所列竖式计算：商计算到个位时，余数为0.3；商计算到十分位，余数为0.02；商计算到百分位，被除数被除尽余数为0.显然这里的“余数”仅仅是指商计算到某一数位后被除数还余下的数，这些余下的数还会随着继续运算不断出现新的“余数”，同时所得到的商也在变化（商的小数位数增加），即“余数”的出现与得到的商具有相对性。同一个小数除法算式可以得到多个这样的“余数”。这些
“余数”只能是随除法运算进行而不确定，和“有余数除法的商和余数唯一确定”有着本质的区别。因此上述算式中的“0.1”仅仅是商计算到个位时被除数还余下的数，并不是真正的余数。1.7÷0.2是能被除尽而没有余数的，只能写成1.7÷0.2=8.5，而不能写成用“商和余数”来表示结果的算式。

2、“数学问题”的错因分析。

蒋老师文章中某老师提出的数学问题可以简述为：1.7厘米中有几个0.2厘米，还剩多少厘米。学生列出了下列算式：

             1.7÷0.2           ①

            =17÷2              ②

            =8……1             ③

①   单看错在哪一步没有意义。

 蒋老师认为①到②是错误的，理由却是①和②的余数不相等，①本来就没有余数又怎么能比较呢？潘老师则以①没有余数②有余数，也认为①到②是错的，显然，否定相等也是缺少道理的。周老师和提出数学问题的某老师都认为①到②是对的，理由是应用了商不变的性质，两式的数值都是8.5；②到③也是对的，理由是17÷2的确是等于8……1.既然都是正确的，为什么求出的结果不是题目的答案呢？显然错误的出现已经不是在哪一步上。

（2）“无余”当成“有余”去寻找错因也没有意义。

蒋老师和吴老师都依据“使用商不变性质，商不变余数变化”，认为学生错在没有将余数“还原”只是在余数还原上两位老师产生了分歧。孙老师和杨老师也都认同1.7÷0.2=8（本）……0.1（厘米）表示数学问题的结果。其实无论是余数“还原”还是“表达”都已经与“错因”无关。

（4）错源是利用小数除法求余数。

一个没有余数的小数除法应用题却要去它的余数，这也就导致了整个计算思路从源头上就出了问题；学生的计算过程是错误的，而老师们却仍然顺着错误的思路去分析错因、讨论正确答案，也就只能是说不清道不明。尽管有些老师也用“具体语言环境或数学环境”作解释，但小数除法在任何语言环境下都不能写成有余数除法的算式。

3、所讨论的数学问题是一道分两步计算的应用题。

从学生的实际考虑，就会发现这实际上就是常见的分两步计算的应用题：第一步计算出“可放书多少本”，第二部再计算“还余下多少厘米”。第一步的计算方法，×版教材五年级上册32页例12的（2）就是现成的范例：王阿姨用一根25米长的红丝带包装礼盒，每个礼盒要用1.5米长的丝带，这些红丝带可以包装几个礼盒？

   2.5÷1.5=16.666……（个）。可包装16个礼盒。

   该题所计算出的数值是大于16而小于17，只能够包转16个礼盒，所得商的小数就可省略掉，这样根据解决实际情况取商的近似值的方法就是“去尾法”。

显然“可放书多少本”完全可以参照上题利用“去尾法”求得。

“数学问题”的解法：1.7÷0.2=8.5（本）≈8（本），1.7-0.2×8=0.1（厘米）

答：可放书8本，还余下0.1厘米。

上述计算过程，第一步求出的8（本）是利用“去尾法”取商的近似值所得，并不是求商；第二步求出的0.1（厘米）是放置8本书后还余下的高度，也不是余数。两个结果分别用两种算式计算求出，并非是“商和余数”的结果表示。

2、          文章中提到的两种解答方法值得商榷。

（1）吴老师提出“在有余数的除数是小数的除法中，商不变性质的直观事实是被除数和除数扩大（缩小）相同倍数，数学本质是转化计量单位。”的观点，认为“这样的小数除法可以写成递等式，仅仅是要在算式的数字后面带上相应的计量单位”。并以此解释所列出的完整递等式。

首先，“有余数的除法是小数的除法”说法就欠缺，所谓的“直观事实”和“数学本质”也就没有了科学依据，只不过是想利用“数学本质→单位变化”而给“数字带单位”变得“合理”些。其次，所谓的“完整的递等式”并不具有递等式的特征。如下列等式    1.7厘米÷0.2厘米     （a）

             =17毫米÷2毫米         （b）

             =8（本）……1（毫米）    （c）

             =8（本）……0.1厘米      （d）

(a)             到(b)是相等的，但(b)到(c)不是等式，（c）到(d)也仅仅是同一结果的换单位表示。我认为“这样的小数除法”根本就不可能用递等式来表达。另外在计算思路上与蒋老师和学生的没有两样，尽管想用“数字后面带上单位”来说明算式变化的意义和余数还原的道理，却使计算过程在不断改变单位中进行，难以体现出应用题解答的基本要求。

（2）潘老师尽管认为1.7÷0.2是没有余数的而断定“题目本身就有问题”，却在解答中仍以计算余数为目的，提出“恰好可以转化单位来做”的解法而将原题变为没有问题的有余数除法。然而讲一个有问题的题转化为没有问题了，实质上是改变了原题。如果题目中的单位不是厘米而是毫米，就可以直接列出算式17÷2=8（本）……1（毫米），又为什么用厘米呢？这样的计算思路也只是把吴老师的“4步”拆成了三个运算过程：先是将“无余”变成“有余”，再计算改变后的“有余数题”；由于运算的是“有余数题”，才有了将计算的结果再改回到原题答案的一步。

其实，在解答一个应用题时为了更方便些，借用“其他题”作为“运算载体”，最终得到所需要的答案，也没有什么不妥，但前提是所解应用题是没有问题的。我们讨论的数学问题也只是求“余数”才求出了问题。