对数正态分布

在概率论与统计学中，对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果 X 是正态分布的随机变量，则 exp(X) 为对数分布；同样，如果 Y 是对数正态分布，则 ln(Y) 为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 x > 0，对数正态分布的概率分布函数为

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其中 μ 与 σ 分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是

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方差为

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给定期望值与标准差，也可以用这个关系求 μ 与 σ

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[编辑] 与几何平均值和几何标准差的关系

对数正态分布、几何平均数与几何标准差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 exp(μ)，几何平均差等于 exp(σ)。

如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。

其中几何平均数 μ_geo = exp(μ)，几何标准差 σ_geo = exp(σ)

[编辑] 矩

原始矩为：

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或者更为一般的矩

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[编辑] 局部期望

随机变量 X 在阈值 k 上的局部期望定义为

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其中 f(x) 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为

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其中 Φ 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用。

[编辑] 参数的最大似然估计

为了确定对数正态分布参数 μ 与 σ 的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看

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其中用 http://upload.wikimedia.org/math/e/d/a/eda95949db70f0b3b49384dee963b5cb.png 表示对数正态分布的概率密度函数，用 http://upload.wikimedia.org/math/0/e/d/0eda9a06cd5a9044b567e7cb266cc749.png — 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数：

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由于第一项相对于 μ 与 σ 来说是常数，两个对数最大似然函数 http://upload.wikimedia.org/math/6/5/3/6530ba3cd455ecf2dac2e1cf82664c67.png 与 http://upload.wikimedia.org/math/a/c/e/ace3cd4a0197008a2072a4b1f47a1521.png 在同样的 μ 与 σ 处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计

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[编辑] 相关分布

• 如果 Y = ln(X) 与 http://upload.wikimedia.org/math/1/9/b/19b01934bcd6ab790081da41d149e325.png ，则 Y˜N(μ,σ²) 是正态分布。
• 如果 http://upload.wikimedia.org/math/3/d/0/3d07eff7bf899da03c052bce546285e1.png 是有同样 μ 参数、而 σ 可能不同的统计独立对数正态分布变量 ，并且 http://upload.wikimedia.org/math/9/d/2/9d28753951537fb838e9a5f4a3a5339c.png ，则 Y 也是对数正态分布变量：http://upload.wikimedia.org/math/e/9/e/e9e264140357b71c8b4c6b6861ce322b.png。