用辛达拉姆筛法探讨孪生素数

 

     关于孪生素数，如3。5：5．7：1 1．13等。孪生素数猜想，即孪生素数是否无穷多。用辛达拉姆筛法找出一种求孪生素数的新方法，研究孪生素数猜想有新的结果。

1.用辛达拉姆筛法找出求孪生素数的新方法

     本文记：K={2xy+x +y︱x，y∈N}、L={2xy+x+y一1 ︱∈N}。由辛达拉姆筛法[1]容易知道．一个大于1的奇数2Q +1为素数的充分必要条件是Q不能表成2xy+x+y（x、y取正整数） 的形式。则有下述：

1.1.引入命题

     命题l；一切大于2的素数可表示为：

            2Q+1                             （1）                                                                                               其中 Q∈K 取正整数。   

     命题2：一切李生素数可表示为：

           2Q+1

           2(2Q+1)+1                          (2)

                                                                         其中：Q∈K∪L 取正整数。

     命题1、命题2显然成立，证明见[2]。

1.2. 引入孪生素数根的定义

    显然由命题2可知：

    定义1：称既不能表示成2xy+x+y的形式，又不能表示成2xy+x+y一1的形式的正整数为孪生素数根。

1.3. 孪生素数的新求法   

    由辛达拉姆表可知[1]： 当n、y取正整数时， 2xy +x+y数值从小到大的排列为

         2xy+x+y=4,7,10,12,13,16,17,19,22，…

则2xy+x+y-1=3,6,9,11,12,15,16,18,21，…

    再将2xy+x+y=4,7,10,12,13,16,17,19,22, …

 和2xy+x+y-1=3,6,9,11,12,15,16,18,21.…的数值从小到大排列如下：

         3，4，6，7，9，10，11，12，13，15，16，17，18，19，21，22，…

        由定义1知，将上面的数去掉余下的正整数就是孪生素数根，即Q的值如下：

        Q=1，2，3，8，14，20，…

        将Q=1，2，3，8，14，20，…分别代入（2）式得孪生素数如下：

3，5；5，7；11，13；17，19；29，31；41，43；…孪生素数。这也可以说（2）式是孪生素数的表达式。

2.一个与孪生素数猜想等价的猜想:

     我们可以得到下列数值：

2.1    当P=3时，在它的完全剩余类3n、3n+l、3n+2中：

当 n =1时，将 n =1代入得3n+2=5，将Q=5代入(2)式得：11、13。 因为1l，13是孪生素数，则5是孪生素数根，所以；在3n、3n+1、3n+2三个集合中有3n+2一个集合是含孪生素数根的集合。

2.2   当P=5时，

在它的完全剩余类5n、5n+l、5n+2、5n+3、5n+4中：

（1） 当n =1 时，则5n =5，将Q=5代入(2)式得：11、13：

因为11，13是孪生素数，则8是孪生素数根。

（2） 当n =1 时，则5n+3 =8，将Q=8代入(2)式得：17、19：

因为17，19是孪生素数，则8是孪生素数根。

（3） 当n =2 时，则5n+4=14，将Q=14代入(2)式得：29、31：

因为29，31是孪生素数，则14是孪生素数根。

所以；在5n、5n+1、5n+2、5n+3、5n+4五个集合中至少有个5n、5n+3、5n+4三个集合是含孪生素数根的集合。

2.3  当P=7时，

在它的完全剩余类7n、7n+l、7n+2、7n+3、7n+4、7n+5、7n+6七个集合中：

（1） 当n =2 时，则7n =14，将Q=14代入(2)式得：29、31：

因29，31是孪生素数，则14是孪生素数根。

（2） 当n =1 时，则7n+1 =8，将Q=8代入(2)式得：17、19：

因17，19是孪生素数，则8是孪生素数根。

（3） 当n =7 时，则7n+4=53，将Q=53代入(2)式得：107、109：

因107、109是孪生素数，则53是孪生素数根。

（4） 当n =9 时，则7n+5 =68，将Q=68代入(2)式得：137、139：

因137、139是孪生素数，则8是孪生素数根。

（5） 当n =2 时，则7n+6=20，将Q=20代入(2)式得：41、43：

因为41、43是孪生素数，则20是孪生素数根。

 

所以；在7n、7n+1、7n+2、7n+3、7n+4、7n+5、7n+6七个集合中有7n、7n+1、7n+4、7n+5、7n+6五个集合是含孪生素数根的集合。

2.3 当P=11时，

在它的完全剩余类11n、11n+l、11n+2、11n+3、11n+4、11n+5、11n+6、11n+7、11n+8、11n+9、11n+10十个集合中：

（1） 当n =19 时，则11n =209，将Q=209代入(2)式得：419、421：

因419、421，是孪生素数，则209是孪生素数根。

（2） 当n =8 时，则11n+1 =89，将Q=89代入(2)式得：179、181：

因179、181是孪生素数，则89是孪生素数根。

（3） 当n =3 时，则11n+2=35，将Q=35代入(2)式得：71、73：

因71、73是孪生素数，则35是孪生素数根。

（4） 当n =10 时，则11n+3 =113，将Q=113代入(2)式得：227、229。因227、229是孪生素数，则8是孪生素数根。

（5） 当n =4 时，则11n+6=50，将Q=50代入(2)式得：101、103：

因为41、43是孪生素数，则20是孪生素数根。

（6） 当n =2 时，则11n+7 =29，将Q=29代入(2)式得：59、61：

因59、61，是孪生素数，则29是孪生素数根。

（7） 当n =6时，则11n+8 =74，将Q=74代入(2)式得：149、151：

因149、151是孪生素数，则74是孪生素数根。

（8） 当n =6 时，则11n+9=53，将Q=53代入(2)式得：107、109。

因107、109是孪生素数，则53是孪生素数根。

（9） 当n =8 时，则11n+10 =98，将Q=98代入(2)式得：197、199。因197、199是孪生素数，则98是孪生素数根。

所以；在11n、11n+1、11n+2、11n+3、11n+4、11n+5、11n+6、11n+7、11n+8、11n+9、11n+10十一个集合中有11n、11n+1、11n+2、11n+3、11n+6、11n+7、11n+8、11n+9、11n+10九个集合是含孪生素数根的集合。

… 等等。由此我们提出下列命题：

    命题3：．当P≥3为素数，n≥1为自然数时，在pn、pn+1、…、pn+p-l的  p个剩余类集舍中，有p-2个集合是含有孪生素数根的集含．  

    等价的思路如下：

    因素数无穷多，所以奇素数p也无穷多，则p-2还是无穷多，又因当n≥1为自然 数时pn、pn+1、…、pn+p-l的p个剩余类集合中的数不重复。如命题3成立，则可以得到无穷多个孪生素数根，对应可求到无穷多组孪生素数。

    所以命题3成立．素数猜想也成立，它们是等价的。

3  命题3的证明思路如下：先对简单的集合进行证明，找出证明的思路。

3.1  p＝3

    将  p＝3代入pn、pn+1、…、pn+p-l得：3n、3n+1、3n+2

   下面用反证法，证明x.y.n在整数范围内3n＋2不是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y-1的子集。

     由集合理论可知：

     {3n │  n∈N}＝{15n1│n1∈N}∪{15n1＋3│n1∈N}∪{15n1＋6│n1∈N}∪{15n1＋9│n1∈N}∪{15n1＋12│n1∈N}

     {3n ＋1│  n∈N}＝{15n1＋1│n1∈N}∪{15n1＋4│n1∈N}∪{15n1＋7│n1∈N}∪{15n1＋10│n1∈N}∪{15n1＋13│n1∈N} 

     {3n ＋2│  n∈N}＝{15n1＋2│n1∈N}∪{15n1＋5│n1∈N}∪{15n1＋8│n1∈N}∪{15n1＋11│n1∈N}∪{15n1＋14│n1∈N}

     x. y. n在整数范围内

     假设：

    （1）若3n是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集，则15n1、15n1＋3、15n1＋6、15n1＋9、15n1＋12也必是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集。

    （2）若3n＋1是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集，则15n1＋1、15n1＋4、15n1＋7、15n1＋10、15n1＋13也必是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集。

    （3）若3n＋2是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集，则15n1＋2、15n1＋5、15n1＋8、15n1＋11、15n1＋14也必是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集。

     下面分析x.y.n在整数范围内2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1有多少个15n1＋B （其中B≤15取正整数）形式的子集。

    （1）.当x＝1时  ，    2xy ＋x＋y＝3y＋1;        2xy ＋x＋y－1＝ 3y

        当y＝5n1时  ，        3y＋1＝ 15n1＋1         3y＝  15n 1

        当y＝5n1＋1时  ，     3y＋1＝ 15n1＋4         3y＝  15n 1＋3

        当y＝5n1＋2时  ，     3y＋1＝ 15n1＋7         3y＝  15n 1＋6      

        当y＝5n1＋3时  ，     3y＋1＝ 15n1＋10           3y＝  15n 1＋9

        当y＝5n1＋时  ，      3y＋1＝ 15n1＋13           3y＝  15n 1＋12     

        当y＝5n1＋3时  ，     3y＋1＝ 15n1＋16           3y＝  15n 1＋15

      （2）当X＝2时，      2xy ＋x＋y＝ 5y＋2;        2xy ＋x＋y－1＝5y＋1

        当y＝3n1时  ，        5y＋2＝ 15n1＋2            5y＋1＝  15n1＋1

        当y＝3n1＋1时  ，     5y＋2＝ 15n1＋7            5y＋1＝  15n 1＋6

        当y＝3n1＋2时  ，     5y＋2＝ 15n1＋12           5y＋1＝  15n 1＋11  

        当y＝3n1＋3时  ，      5y＋2＝ 15n1＋17          5y＋1＝  15n 1＋16

            同理，y＝1  .  y＝2时，结果同上不必讨论。

          由以上可知：x.y.n在整数范围内2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1有15n1＋B （其中B≤15取正整数）形式的子集是 15n 1     、15n1＋1 、15n1＋2 、15n1＋3  、15n1＋4、 15n1＋6 、15n1＋7  、15n1＋9 、15n1＋10 、15n1＋11  、15n1＋12、 15n1＋13     共12个  ，也只有这12个在我们15n1＋B （其中B≤15取正整数）的范围。

        ∵x.y在整数范围内2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集有： 15n 1     、15n1＋5  、15n1＋10 

          ∴  假设（1）都成立。∴     {3n│  n∈N}∈{2xy＋x＋y│x.  y∈N}

       ∵x.y在整数范围内2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1  的子集有： 15n 1     ＋1、15n1＋7 、15n1＋12

          ∴  假设（2）都成立。∴     {3n＋1│  n∈N}∈{2xy＋x＋y│x.  y∈N}

        ∵x.y在整数范围内2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的15n1＋B （其中B≤15取正整数）子集中没有15n1＋5、15n1＋8、15n1＋14。出现矛盾。

          ∴假设（3）不成立。即x.y.n在整数范围内3n＋2不是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集。

         ∴n在整数范围内3n＋2是含孪生素数根的集合。

          ∴当p＝3时，有3－2＝1个含孪生素数根的集合。

          ∴当p＝3时，命题3成立

         用这种方法证明在整数范围内3n＋2不是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集比较复杂，其目的是找出找出证明命题3的思路。

         下面用另一种方法很简单可以证明在整数范围内3n＋2不是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集。显然除1以外的孪生素数根，不在3n中，又不在3n＋1，则必在3n＋2中。所以，3n＋2是含有孪生素数根的集合，这种方法简单但不能推广。

 2.2.  p＝5

          将  p＝5代入pn、pn+1、…、pn+p—l得：5n、5n+1、5n+2、5n+3、5n+4

          由集合理论可知：

         {5n │  n∈N}＝{15n1│n1∈N}∪{15n1＋5│n1∈N}∪{15n1＋10│n1∈N}

         {5n ＋1│  n∈N}＝{15n1＋1│n1∈N}∪{15n1＋6│n1∈N}∪{15n1＋11│n1∈N}

         {5n ＋2│  n∈N}＝{15n1＋2│n1∈N}∪{15n1＋7│n1∈N}∪{15n1＋12│n1∈N}

         {5n ＋1│  n∈N}＝{15n1＋3│n1∈N}∪{15n1＋8│n1∈N}∪{15n1＋13│n1∈N}

         {5n ＋1│  n∈N}＝{15n1＋4│n1∈N}∪{15n1＋9│n1∈N}∪{15n1＋14│n1∈N}

         x.y.n在整数范围内

         假设：

      （1）若5n是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集，则15n1、15n1＋5、15n1＋10也必是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集。

      （2）若5n＋1是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集，则15n1＋1、15n1＋6、15n1＋11也必是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集。

      （3）若5n＋2是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集，则15n1＋2、15n1＋7、15n1＋12也必是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集。

      （4）若5n＋3是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集，则15n1＋3、15n1＋8、15n1＋13也必是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集。

      （5）若5n＋4是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集，则15n1＋4、15n1＋9、15n1＋14也必是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集。

        下面分析x.y.n在整数范围内2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1有多少个15n1＋B （其中B≤15取正整数）形式的子集。

          （1）.当x＝1时  ， 2xy ＋x＋y＝   3y＋1;                      2xy ＋x＋y－1＝   3y

                              当y＝5n1时  ，            3y＋1＝ 15n1＋1                       3y＝  15n 1

                         当y＝5n1＋1时  ，  3y＋1＝ 15n1＋4                    3y＝  15n 1＋3

                        当y＝5n1＋2时  ，   3y＋1＝ 15n1＋7                     3y＝  15n 1＋6      

                        当y＝5n1＋3时  ，   3y＋1＝ 15n1＋10                 3y＝  15n 1＋9

                         当y＝5n1＋时  ，   3y＋1＝ 15n1＋13                    3y＝  15n 1＋12     

                        当y＝5n1＋3时  ，   3y＋1＝ 15n1＋16                  3y＝  15n 1＋15

         （2）当X＝2时，  2xy ＋x＋y＝   5y＋2;                       2xy ＋x＋y－1＝   5y＋1

                              当y＝3n1时  ，   5y＋2＝ 15n1＋2                       5y＋1＝  15n1＋1

                当y＝3n1＋1时  ，   5y＋2＝ 15n1＋7                      5y＋1＝  15n 1＋6

                当y＝3n1＋2时  ，   5y＋2＝ 15n1＋12                     5y＋1＝  15n 1＋11  

                当y＝3n1＋3时  ，   5y＋2＝ 15n1＋17                    5y＋1＝  15n 1＋16

            同理，y＝1  .       y＝2时，结果同上不必讨论。

          由以上可知：x.y.n在整数范围内2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1有15n1＋B （其中B≤15取正整数）形式的子集是 15n 1     、15n1＋1 、15n1＋2 、15n1＋3  、15n1＋4、 15n1＋6 、15n1＋7  、15n1＋9 、15n1＋10 、15n1＋11  、15n1＋12、 15n1＋13     共12个  ，也只有这12个在15n1＋B （其中B≤15取正整数）的范围。

       ∵在整数范围内2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1   的子集有： 15n 1    ＋1 、15n1＋6   、15n1＋11 

                ∴  假设（2）都成立。∴     {5n＋1 │  n∈N}∈{2xy＋x＋y│x.  y∈N}

       ∵在整数范围内2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1    的子集有： 15n 1    ＋2、15n1＋7   、15n1＋12 

                 ∴  假设（3）都成立。∴     {5n＋2 │  n∈N}∈{2xy＋x＋y│x.  y∈N}

        又  ∵ x.y在整数范围内2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1有15n1＋B （其中B≤15取正整数）形式的子集： 15n 1      、15n1＋1 、 15n1＋2   、15n 1＋3、 15n 1＋4   、 15n1＋6   、15n1＋7  、  15n 1＋10 、 15n1＋11  、15n1＋12    、 15n 1＋13、    15n 1＋15  中  

           没有15n1＋5 ， 与（1）矛盾， ∴假设（1）不成立

           没有15n1＋8， 与（4）矛盾， ∴假设（4）不成立

           没有15n1＋14， 与（5）矛盾， ∴假设（5）不成立

          即x.y.n在整数范围内5n、5n＋3、5n＋4不是2xy＋x＋y和2xy＋x＋y－1的子集。

           ∴n在整数范围内5n、5n＋3、5n＋4是含孪生素数根的集合。

           ∴当p＝5时，有5－2＝3个含孪生素数根的集合。

           ∴当p＝5时,命题3成立