余弦定理教学实录与启示

一、基本情况

1.教学班级。

教学班为四星级高中统招班，基础较好，思维活跃，有一定的思考、探究能力。

2.教材分析。

本节内容选自《普通高课程标准实验教科书·数学》（苏教版）必修5第一章“解三角形”第2节“余弦定理”，学生已经学习了必修4“三角函数”、“平面向量”、“三角恒等变换”，并且学习了正弦定理的发现、证明和应用，具有初步的归纳、猜想和证明意识，因此在余弦定理教学中，把重点放在引导学生类比正弦定理的学习过程，运用向量方法和勾股定理发现和证明余弦定理，体会向量方法的作用，比较不同证法的区别与联系，体验余弦定理的不同结构，表现形式和含义，渗透类比的意识和基本方法，指导学生数学地发现问题、思考问题、发展学生归纳、猜想、推理能力。

3.教学目标。

⑴经历用向量方法和勾股定理发现、猜想、推导余弦定理的过程，享受数学发现的快乐，激发学习兴趣。

⑵发现向量方法与解三角形间的联系，比较正弦定理与余弦定理形成过程与应用范围。

⑶感悟“类比”、“联想”、“特殊一般”、“转化”与“数形结合”等思想方法。

⑷初步运用余弦定理解决简单的三角形度量问题。

教学重点：余弦定理的发现与推导。

教学难点：创设情境建构与推导余弦定理。

二、教学过程

1.创设情境，提出问题。

师：前两节课我们在直角三角形中，从三角函数定义出发，探究发现了正弦定理，并运用向量方法和其它方法证明了正弦定理，今天我们首先来研究，能不能用向量方法证明勾股定理呢？

（学生活动，老师巡视，集体讨论）

生1：勾股定理是边的关系，可由向量的数量积转化得到。

设直角三角形file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-3279.png边的平方等于对应向量的平方，

由file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-7677.png

得：file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-23454.png

        即：file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-27183.png

师：很好，若对于任意三角形，生1的推导过程会发生怎样的变化？结果会是什么形式？

　（留给学生思考时间，动手尝试片刻）

生2：file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-12033.png.

file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15003.png

即：file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-26828.png

勾股定理可以看作上式的特殊情况。

师：上式也可以看作勾股定理的推广，用文字语言表述为（学生集体回答）三角形任何一边的平方等于其它两边平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，这个结论揭示了任意三角形三边与其中一角的余弦关系，我们起个名字叫做（学生插嘴）余弦定理。

2.联想类比，探究证明。

师：在学习正弦定理时，我们用各种不同方法证明了正弦定理，现在我们分四个组运用教科书P5提供的⑴－⑶及其它方法证明余弦定理。

学生自主思考、相互讨论，教师顺应学生的探究思路给予适当的提高、点拨、启发、分组探究结果由各组代表投影展示，主要有以下方法：

生3：坐标法（与教参提供证明方法相同略）

生4：转化为直角三角形中的边角关系（有忽视分类讨论A角的变化，同组学生订正补充　同教参）

生5：平面几何法，构造相似三角形、等腰三角形、借助锐角三角函数定义推导，方法繁，且仅当A角为最大角时方能适用（证法过程略）

生6：用正弦定理代入余弦定理右边验证：

生7：用正弦定理方法有所不同：

由：file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-21419.png     ①

              file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-14696.png     ②

　　　　令：file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-15266.png  ③

　　　　　由①file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-30162.png

3沟通联系，深化理解。

师，刚才大家对各种证法进行了热烈的讲座，可能还有灵感的火花未能展示，请同学们课后进一步完善，并把自己的思路和成果在学习园地展示，现在请同学把正弦定理与余弦定理比较思考一下，余弦定理能解决三角形中的哪些问题

生8：由：file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-25240.png

          file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-3192.png

          file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-8946.png

可知，已知两边夹角求第三边用以上三个式子（有学生插话，已知两边一对角也可以用上式求第三边）而已知三边求角可用以下三种形式：

 file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-13600.png ； 

file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-2032.png  ；

file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-5348.png

师：刚才两位同学总结余弦定理的应用很好，接下来我们来用余弦定理解决一些问题。

教者刚要出示例题，有位学生举手想发言。

生9：余弦定理还可以求向量的数量积，我把余弦定理写成：file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-23849.png，

同样：file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-13628.png

师：生9的思考角度很好，把余弦定理与向量联系起来，向量方法能证明余弦定理，余弦定理也能表示向量的数量积，其实上述形式也可以叫做向量数量积的三角形式，如同正弦定理可以证明余弦定理，余弦定理同样也可以去证明正弦定理，课后大家尝试一下。

4.应用定理，解决问题。

展示两个例题

例1.在file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-6544.png

⑵已知file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-23869.png

例2.已知向量file:///C:/DOCUME~1/Aspire/LOCALS~1/Temp/ksohtml/wps_clip_image-21633.png的夹角的余弦值

（以上例题未能完成）

5.总结反思，布置作业（略）。

三、回顾与反思

1.实录回眸

本节课是在学生已经学习了三角函数、平面向量、三角恒等变换、三个单元的基础上学习解三角形内容，这些内容既是平面三角的重要组成部分，又是三角函数与三角恒等变换的延伸、拓展与应用，更是向量方法解决三角问题的进一步应用，核心是研究余弦定理的发现与证明。

正弦定理与余弦定理是解三角形的两大基本工具，同时互为印证，正弦定理源于直角三角形中的正弦函数关系，揭示了三角形三边与角的正弦值的关系，自然而然地会想到三角形的各边与角的余弦值是否也有联系呢？教学余弦定理时应该运用类比的方法发现、推导余弦定理，突破口是如何发现余弦定理，教科书直接从三角形三边的向量等式出发，将向量等式转化为数量关系得到余弦定理，言简意赅，简洁明快，但教者感到似乎跳跃较大，不够自然，因此在创设问题情境中加了一个铺垫，即让学生先用向量方法证明勾股定理，再从特殊到一般，将直角三角形推广为任意三角形，余弦定理水到渠成，与勾股定理统一起来，这一尝试是想回答：一个结论源自何处，是怎样想到的。

正弦定理与余弦定理源于向量的加减法运算，其实向量的加减法的三角形法则和平行四边形法则从形上揭示了三角形的边角特征，而正弦定理和余弦定理从数量关系上揭示了三角形的边角关系。向量的数量积则打通了三角形边角的数形联系，因此用向量方法证明正弦定理与余弦定理比较简捷，其实向量方法应用很广泛，必修4用向量证明了两角差的余弦公式，还可以证明三角形的中线定理、角平分线定理、射影定理等等。学生对向量方法的工具作用有了进一步的理解，就能深化认识，掌握普通性方法，解决更多问题。

在正弦定理一节，书本提供了好几种证明思路，学生有了感性经验和基础，在证余弦定理时，教者大胆地让学生自主探究，寻求新的证法，拓展思维，打通余弦定理与正弦定理、向量、解析几何、平面几何的联系，在比较各种证法后体会向量方法的优美简捷、知识交融、方法熟练、能力提升。

2、教学感悟

⑴数学教学的本质目标到底是什么？激发学生潜能，教会学生思考，让学生变得聪明，学会数学地发现问题、思考问题、解决问题，具有创新品质，具备教学文化素养是题中之意，试想一下，成人工作以后，有多少人会再用到余弦定理，但围绕余弦定理学生学到的发现方法、思维方式、探究创造与数学精神则会受用不尽，这就是爱因斯坦认为的素质。据郑毓信先生介绍徐利治先生多年前访美时，西点军校研究生院曾两次邀请他去作“数学方法论”方面的讲演。西点军校学员要必修多门与实践不能直接挂钩的高深的数学课，多年后铭记的不是数学知识，而是数学精神和数学文化理念和素质，无独有偶，英国律师在大学里要修毕多门高等数学课程，这既不是因为英国的法律条文一定要用微积分去计算，也不是因为英国的律师课程要以高深的数学知识为基础，而是因为只有通过严格的数学训练，才能使之具有坚定不移而又客观公正的品格，并使之形成一种严格而精确的思维习惯。

⑵数学教学活动首先应围绕培养学生兴趣、激发原动力，让学生想学数学这门课。与此同时，指导学生学握数学学习的一般方法，具备终身学习的基础，教者曾经做过调查，进入四星级高中的学生90%以上在小学甚至初中都是喜爱数学的，但到了高中就有许多学生渐渐不喜欢数学。试想如若高考不考数学，我们数学教师能让几个学生喜欢数学，喜欢上数学课，因此，作为数学教师首先要培养兴趣，兴趣来源于问题，一个好的问题可能会让一个人一生为之奋斗。陈景润一生研究最主要的问题就是“哥德巴赫猜想”。不仅教师要不断提出好的数学问题，而且要教会学生提出问题，培养学生发现问题的意识和方法，并逐步将发现问题的意识变成直觉和习惯。在本节课中，通过余弦定理的发现过程，培养学生观察、类比、发现、推理能力，学生在教师引导下，自主思考、探究、小组合作交流相互启发，思维碰撞，寻找不同的证明方法，既培养了学生学习数学的兴趣，同时掌握了学习概念、定理的基本方法，增强了学生的问题意识；第二掌握正确的学习方法，没有正确的学习方法，兴趣不可能持久，概念、定理、公式、法则的学习方法是学习数学的主要方法，学习的过程就是知其然、知其所以然、举一反三的过程，学习余弦定理的过程正是指导学生掌握学习数学的良好学习方法的典型范例，引导学生发现余弦定理的来龙去脉，掌握余弦定理的证明方法，理解余弦定理与其它知识的密切联系，应用余弦定理解决其它问题；第三，只有当兴趣和方法内化为习惯与直觉时，才能学好数学。杨振宁先生提出：“对于基本概念的理解要变为直觉”，其实不仅仅是概念、定理、公式、法则、数学思想方法的理解都应该变为直觉，这样才能简缩思维、产生顿悟、迅速发现问题、解决问题。

⑶数学创新是在特定的数学基础上长期积累后实现由量变到质变飞跃的过程中迸发出来的灵感，数学创新是数学教学的灵魂，数学创新的基石是扎实的数学基础，内在动力是数学创新意识，外在形式是“变化”，核心是“顿悟”和“灵感”，在余弦定理教学中，在创设情境搭建学生发现余弦定理的平台的基础上，寻求“一题多解”，探究证明余弦定理的多种方法，指导“一题多变”改变余弦定理的形式，如已知两边夹角求第三边的公式、已知三边求角的余弦值的公式、已知三边求向量的数量积等多种形式，启发“一题多思”，引导学生思考余弦定理与正弦定理的联系，与勾股定理的联系，与向量的联系，与三角知识的联系以及与其它知识方法的联系，通过不断改变方法、改变形式、改变思维方式、夯实了数学基础，打通了知识联系，掌握了数学基本方法，丰富了数学基本活动经验，激发了数学创造思维和潜能，追求数学基础与创新的和谐统一。

诚如众多老师所言，数学是一门遗憾的艺术，本节课教学有许多漏洞，在创设情境、引导学生发现指导推导方法、鼓励学生质疑提问、猜想和再创造等方面留有很多遗憾，只能抛砖引玉，甚至做反面教材供同仁借鉴。