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初中几何基本知识汇总
编辑:王老师
一、线和角
1、线段、射线、直线(略)
①
②所有连接二点的线中,线段最短,叫二点间的距离。
2、同位角、内错角、同旁内角(略)
3、互为补角(两角的和是一个平角),互为余角(两角的和为直角)。
①
②同角或等角的余角相等。
4、平行线:
①
②
性质
①
②
③
判定:
①
②内错角相等,两直线平行
③同旁内角互补,两直线平行
5、线段的垂直平分:
①定理:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
②逆定理:到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
6、对称轴:
定理1:关于某条直线对称的两个图形是全等形
二、三角形、四边形、多边形
7、三角形的内角和、外角、中线、中位线、高
①三角形三个角平分线交于一点:内心(该点到三角形三边距离相等)
②三条边的垂直平分线相交于一点:外心(该点到三角形三个顶点的距离相等)
③三角形中线相交于一点:重心(这点到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍)
④
8、三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
9、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和,大于和它不相邻的任意内角。
10、三角形的判定:①边角边(SAS) ②角边角(ASA)
<推论:“角角边(AAS)>
11、角平分线
定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
定理2:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
12、等腰三角形:
⑴性质定理:等边对等角(两底角相等)
①推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直底边。(三线合一)
②推论2:等边三角形各角相等,均为600
⑵判定定理:两底角相等的三角形是等腰三角形
①在直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半
②过三角形一边中点且平行于第二边的直线必过第三边中点
13、勾股定理;a2+b2=c2(此定理可逆,适合此条件的是直角三角形)
14、图形的平移:
⑴概念:图形沿着一定的方向平行移动。图形的平移由移动的方向和距离决定。
⑵平移是物体、图形的平行移动,运动过程中,物体、图形的形状、大小都不会发生改变。
⑶平移的特征:
①平移后,图形中的每一个点沿着同一方向移动同一距离。
②平移后,对应线段平行且相等。
③平移后,对应角相等。
④平移后,对应点的连线相互平行或在同一条直线上
15、几何证明初步
③命题的组成:由题设、结论组成。形式:如果……那么……
④真命题、假命题:(略)要判断一个命题是真命题,可以通过实验的方式,也可通过推理的方式;要判断一个命题是假命题,只要举一反例即可。
㈠如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,第一个命题的结论是第二个命题的题设,这两个命题叫互逆命题。(其中一个叫原命题,另一个叫逆命题)
㈡任何一个命题都有它的逆命题,但逆命题不一定是真命题。
㈠一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,一个叫另一个的逆定理。
㈡从逆定理定义上不难看出,逆定理一定是真命题。
㈠作为判定其他命题真假的根据的真命题叫做公理。即有些真命题是通过长期实践总结出来,被大家所公认,并且作为证实其他命题的起始依据,这样的真命题叫公理
㈠其正确性是用推理证实的真命题叫定理。即我们把由已知条件、定义、公理或已经证实了的真命题出发,通过推理的方法得到证实的真命题叫公理。
㈡定理可作为判定其他命题真假的依据;
16、图形的旋转:
⑵图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定。
⑶旋转角:和旋转中心相连的对应线段的夹角。
⑷旋转中心是旋转变换的唯一不动点,反之,若有一点在旋转中保持不变,则必为旋转中心
⑸图形旋转的特征:图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度;对应点到旋转中心的距离相等;对应线段相等;对应角相等;图形的形状和大小都没有发生改变。
⑹作旋转后的图形,关键在于找准对应点,利用图形旋转的特征来作。
⑺旋转对称图形:
①图形绕着一点旋转一定的角度后,能与自身重合,这样的图形称为旋转对称图形。
②注意旋转对称图形与旋转对称的联系和区别:前者就一个图形而言,后者就两个图形而言。
⑻中心对称:
①中心对称:将一个图形绕着一个点旋转1800后,与另一个图形重合,我们称这两个图形关于这个点成中心对称。这个点叫对称中心。
②中心对称图形:将一个图形绕着中心点旋转1800后能与自身重合,我们把这种图形叫做中心对称图形。这个中心点叫对称中心。
③中心对称指的是两个图形的位置关系;而中心对称图形指的是一种具有特殊性质的图形。
④中心对称图形是特殊的旋转对称图形。
⑤中心对称的特征:在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分。
⑥中心对称的识别:如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且都被该点平分,那么这两个图形一定关于这个点成中心对称。
⑼、㈠定理 :①关于中心对称的两个图形是全等形
㈡逆定理:如果两个图形的对称点连线都经过某一点,并且被这点平分,那么这两个图形关于这点对称
17、四边形
⑴凸多边形内角和定理:n边形内角和等于(n-2)×1800
18、平行四边形定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
19、平行四边形性质:
①平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心。
②平行四边形的对边平行且相等。
③平行四边形对角线互相平分。
④平行四边形的对角相等、邻角互补。
20、两条平行线间的距离
21、平行四边形的判定:
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③对角线互相平分的四边形是平行四边形。
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
⑤两组对边分别平行的四边形是平行四边形
22、矩形:
①具有平行四边形的一切性质,
②四角是直角,
③对角线相等
④矩形既是中心对称图形,又是轴对称图形(有两条对称轴)
23、菱形:
⑴定义:有一组邻边相等的平行四边形
⑵菱形的性质:
①具有平行四边形的一切性质,
②四条边相等,
③对角线相互垂直、每一条对角线平分一组内对角
④菱形既是中心对称图形,又是轴对称图形
24、正方形:
⑴定义:①有一个角是直角的菱形
⑵性质:
①具有平行四边形的性质,
②边:四条边相等,邻边垂直,对边平行。
③角:四角是直角,
④对角线:相等、相互垂直平分、每条对角线平分一组内角
⑤是轴对称图形,有四条对称轴;又是中心对称图形
25、梯形:
①定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形
②等腰梯形性质定理:等腰梯形在同一底上的两个角相等
③等腰梯形判定:同一底上两角相等的是等腰梯形
④平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等
推论1:经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰
推论2:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
①三角形中位线定理:平行第三边且等于第三边的一半
②梯形中位线定理:梯形的中位线平行两底且等于两底和的一半
三、相似形:
26、 ① 比例线段
②a:b =c:d
③ 比例的基本性质:a:b=c:d
④和比性质:若a:b=c:d则 (a+b)/b=(c+d)/d
⑤等比性质:若a/b=c/d=……=m/n
⑥黄金分割:把线段AB分成两段AC、BC(AC>BC),使AC2=AB×BC,叫把线段AB黄金分割, C点叫AB的黄金分割点
27、⑴平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
⑶定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例
四、相似三角形
28、定理1:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形和原三角形相似
②BC2=BD×AB
29、相似三角形的性质
30、相似三角形的判定
31、 ⑴射影定理:如图
32、解直角三角形
⑴特殊角的三角函数值(请同学们在下表中填上正确的数值)
|
00 |
300 |
450 |
600 |
900 |
sinA |
0 |
|
|
|
1 |
cosA |
1 |
|
|
|
0 |
tanA |
0 |
|
|
|
不存在 |
cotA |
不存在 |
|
|
|
0 |
②tanA=sinA/cosA
③tanA·cotA=1
④sin2A + cos2A = 1
⑤sin(900-A)=cosA
⑥cos(900-A)=sinA
⑦tan(900-A)=cotA
⑧cot(900-A)=tanA
33、圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合。
①
②
34、弦:连接圆上任意两点的线段
半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每条弧都叫做半圆。
优弧:大于半圆的弧。
劣弧:小于半圆的弧。
弓形:弦及其所对的弧组成的图形。
同心圆:圆心相同、半径不等的两个圆。
等圆:能够重合的两个圆。
等弧:在同圆或等圆中,能够重合的两弧。
35、同圆或等圆的半径相等
36、点的轨迹:
⑴到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,以定长为半径的圆。
⑵和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是线段的垂直平分线。
⑶到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
⑷到直线L的距离等于定长d的点的轨迹,是平行于这条直线并且到这条直线的距离等于定长的两条直线
⑸到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
37、垂直于圆的直径
⑴圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴
⑵垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧
⑶垂经定理推论
推论1
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
推论2: 圆的两条平行弦所夹的弧相等
38、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系
⑴圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
①圆心角:顶点在圆心的角
②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等
③弦心距:圆心到弦的距离
⑵定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦的弦心距相等
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
39、圆周角:⑴定义:顶点在圆上,并且两边和圆相交的角
⑵定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
40、圆与三角形:
⑴三角形三个角平分线交于一点:内心,又叫内切圆圆心(该点到三角形三边距离相等)
⑵三条边的垂直平分线相交于一点:外心,又叫外接圆圆心(该点到三角形三个顶点的距离相等)
⑶三角形中线相交于一点:重心(这点到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍)
⑷三角形三条高交于一点:垂心
⑸不在同一直线上的三个点确定一个圆
41、圆的内接四边形
42、直线和圆的关系
⑴直线和圆相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫圆的割线。
⑵直线和圆相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫圆的切线,唯一的公共点叫做圆的切点。
⑶直线和圆相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
43、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
44、切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径
推论1,经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2,经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
45、三角形的内切圆(内心:三角形的内切圆圆心)
46、切线长和切线长定理:
⑵切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
⑶推论:圆外切四边形的两组对边的和相等
47、弦切角和弦切角定理:
⑴弦切角:一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
⑵弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
⑶推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等。
48、和圆相交的比例线段
⑴相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。
推论:如果弦与直径相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
⑵切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
49、圆和圆的位置
⑵如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
⑶定理:相交两圆的连心线,垂直平分两圆的公共弦
⑷两圆的公切线:外公切线,内公切线(略)
50、定理:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
51、定理:正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
52、⑴圆周长:C=2πR
⑵弧长: L=nπR÷180
⑶圆面积:S=πR2
⑷扇形面积:S扇形=nπR2÷360=LR÷2 (L为弧长)
53、圆锥的侧面积和全面积:
⑴母线:把圆锥底面周长上任意一点与圆锥顶点的连线。
⑵圆锥的高:连结顶点与底面圆心的线段。
⑶侧面积:S=πra
54、作圆的辅助线的几种方法:
⑴作垂直于弦的直径
⑵添加辅助线,构成直径上的圆周角(直角)
⑶作过切点的半径
⑷两圆相切时,作公切线