【例一】代数式f(x)÷(x－19)的余数是99，f(x)÷(x－99)余数是19，

  求f(x)÷[(x－19)(x－99)]的余式？

     这是复旦兰生预初年级的小郭同学问的一题。这就是我之所以“怕复旦兰生的学生的原因”。

    【例二】代数式f(x)÷(x－1)的余数是1，f(x)÷(x－2)余数是3，

  求f(x)÷[(x－1)(x－2)]的余式？

     这是两周前我给初二学生做的，仅有一人做对，但悲哀的是：——讲不出道理。

 数学基础：

1）带余数除法——：被除数A÷除数B＝商N…余数R，

     余数R＝0，  则B整除A, 

我也一直强调：被除数＝除数×商＋余数。

2）到了初中：数改式而已。这也是初中是建立在代数式基础上的。

  即：被除式＝除式×商式＋余式。

  不会做上述两题，说明对小学的东西还存在“灵活应用”的问题。小学有余数小于除数，那么到了中学，相应地变为：

      余式中变量的次数小于除数的次数。

  3）余式定理：当一个多项式 f(x)÷（x–a）时,所得的余数等于f(a)。 当f（a）=0时候，则f（x）能被 x－a 整除（即为因式定理）。

     这类问题站在初中的角度，只有这一种解法。好好尝试吧，我再附加几个类似的问题。

    【例三】若多项式f（x）被x－1和x+3所除的余数分别为－12和－28，

   试求f（x）除以x 2+2x－3的余式。

   【例四】若多项式f(x)除以2(x+1)和3(x－2)余式为1和－2，

求5f(x)除以x2－x－2的余式。

   【例五】若三次多项式f(x)除以x2－1所得余数为2x+1,除以x2－4的余数为6x－1,   试求此三次多项式f(x)。

  【例六】若多项式f(x)除以2x+1时所得的余数是－1，除以x－1所得的余数是5，

  则f(x)除以（2x2－x－1）所得的余数是？