LY7018初中数学竞赛系列训练----------证明与反证

1．             恒等式的证明：

方法一：  直接法：一般由复杂的一边向简单的一边推导，即左到右或右到左的推导；    有分析法（从结果导出条件），综合法（同条件导出结果）。

方法二：  间接法：左右同时化简到一个中间过渡式，使等式成立。

方法三：  差值法（比值法）。

2．             条件等式的证明：核心是恒等变形。一般从证明的等式或将已知条件变形后，利用已知条件的恒等变形来证明。

3．             命题的证明：   直接法与间接法。

A）直接法：数学中的命题，都有题设（条件）与结论两部分，由条件（题设）导出结论。

B）反证法：证明一个命题时，不直接从题设出发去推证结论成立，而是从否定这个命题的结论出发，通过正确、严密的逻辑推理，由此引出一个新的结论，而这个新的结论与题设矛盾（或与已知的定义、公理或定理相矛盾，或自相矛盾），得出原结论的反面不正确，从而肯家定原结论是正确的，这种间接证明的方法叫做反证法（也叫做归谬法）。    反证法是把证明原命题变更为证明其等价命题成立，从而使原命题成立的方法。

***反证法的一般步骤：首先判断命题的反面是否更具体、简单，具有唯一性。

（1） 提出反设：作出与求证的结论相反的假设，否定结论。

（2） 推出矛盾：由反设出发，推出与公理、定义、已知定理或题设相矛盾的结果。

（3） 肯定结论，出现矛盾，是因为“否定结论”所致，由此推断反设不成立，从而肯定命题的结论成立。

（4） 注意事项：如果结论的反面只有一种情况，即只须作出一种反设，并设法导致谬误，立即使命题获证；如果结论的反面不止一种情况，则必须对每一种情况都作出反设，然后将每一反设一一驳倒，才能使命题获证。

4、常用的互为否定形式的词语：是~不是，都是~不都是，存在~不存在，大（小）于~不大（小）于，至少有一个~一个也没有，等于~不等于，至少有N个~至多有N－1个，至多有1个~至少有两个。

  1）             证明：略

  2）             证明：略

  3）             证明：略

  4）             证明：当且仅当1/（a＋b）＋1/(b＋c)=2/(c＋a)时，有等式：a² + c² = 2 b² 。

  5）             若四边形有一对对边中点的连线等于另一对对边和的一半，则另一对对边必互相平行。

  6）             证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

  7）             证明：111…111222…222(分别有n＋1个1和2)是两个相邻整数之积。

  8）             证明：对任意正整数n ，n⁵/5＋n³/3＋7n/15的值恒为整数。

  9）             若整数a不能被2和3整除，则a² + 47必能被24整除。

  10）            设x , y , z是整数, 且x² + y² = z² ,试证明x或y是4的倍数。

  11）            设x , y , z是三个互不相等的正整数，求证：x ³ y―x y ³ ,

y ³ z―y z ³,  z ³ x―z x ³这三个数中，至少有一个数能被10整除。

  12）            已知p³＋q³ ＝2 ，求证p + q ≤ 2 。（注这一题讲义上少了等号，现补上）

  13）            若a、b、c为奇数，则 ax² + bx + c = 0无整解。

  14）            组装甲、乙、丙三种产品，需用A、B、C三种零件，每件甲需用A、B各2个；每件乙需用B、C各1个；每件丙需用2个A和1个C。用库存的A、B、C三种零件，如组装p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰好用完。试证：无论怎样改变生产甲、乙、丙的件数，也不能把库存的A、B、C三种零件都恰好用完。

  15）现有90张卡片，在每张卡片上都写有一个非负整数，已知这90个整数的和不超过1979，试证：这90张卡片中至少有三张卡片上的数字相同。

  16）若a ≠ 0 ，求证关于的方程ax + b = 0的解是唯一的。

  17) 在正八边形的八个顶点上，是否可以记上数1，2，3，…，8，使得任意三个相邻顶点上的数字之和大于13。

  18）设x ₁ , x ₂ ,· · · , x ₉ 均为正整数，且x ₁ < x ₂ < x ₃ < · · · < x ₉ ，x ₁ + x ₂ + · · · + x ₉ = 220 , 则当x ₁ + x ₂ + · · · + x ₅的值最大时，x ₉ －x ₁ 的最小值是多少？

  19）设有n ( n > 1 )个选手P₁，P₂，P₃，…，P_n参加一次乒乓球循环赛。用a _i和b _i分别表示选手P_i（ i ＝1，2，…，n）获胜与失利的局数，求证：获胜局数的平方和等于与失利局数的平方和。

  20) 如图所示，有两个同心圆盘，各分成n个相等的小格，外圆盘固定，内圆盘可以转动，内外圆盘小格上分别填有实数a _i和b _i （ i ＝1，2，…，n），且满足a₁ + a₂ +… + a_n< 0 ,b₁ + b₂ + … + b_n< 0 ,

证明：可将内圆盘转动到某一个合适的位置，使将两圆盘的小格对齐，这时两圆盘n个对应小格内数字乘积之和是一个正数。

 http://s14/middle/4fcd8c0aga1e04fb6249d&690&690

  21）证明：一个不等于1的整数若能表示为相邻的两个正整数的平方和，则表示法是唯一的。

  22）能否把1，2，…，2004这2004个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和大10，第三组各数之和比第二组各数之和大10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和大10？请加以说明。