观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：  
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。  

性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。
　　证明　奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9 
        分别平方后，得  
　   (10a+1)^2=100(a^2)+20a+1=20a(5a+1)+1 ,

　   (10a+3)^2=100(a^2)+60a+9=20a(5a+3)+9 ;  
　   (10a+5)^2=100(a^2)+100a+25=20(5(a^2)+5a+1)+5 ,  
　   (10a+7)^2=100(a^2)+140a+49=20(5(a^2)+7a+2)+9

　   (10a+9)^2=100(a^2)+180a+81=20(5(a^2)+9a+4)+1 

  综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明　已知m^2=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则
10k+6=(10n+4)^2=100(n^2)+(8n+1)x10+6
或　10k+6=(10n+6)^2=100(n^2)+(12n+3)x10+6  
即　k=10n^2+8n+1=2(5n^2+4n)+1  或　k=10n^2+12n+3=2(5n^2+6n)+3  
∴　k为奇数。  
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 
性质4：凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为　(2k+1)^2=4k(k+1)+1         　　　　　(2k)^2=4k^2

(未完待续)