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数字与计数
　　觥筹交错
　　让我们以一个经典的题目作为本书的开始：聚会上有10个人，每个人与其他人分别碰杯一次，那么总共能听到几次碰杯声？
　　 提示
　　我们可以系统化地设想一下，首先第一个人和其他所有人分别碰杯。然后第二个人和除第一人以外的所有
　　人分别碰杯；第三个人和除了前两个人以外的所有人分别碰杯，以此类推。
　　 答案
　　假如聚会的参加者有计划地去和每个人碰杯，那么第一个人会和9个人碰杯，第二个人会和其他8个人碰杯，以此类推，倒数第二个人还能和一个“自由人”碰杯，而最后一个人则根本没有主动去和别人碰杯的机会。所以，总共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次碰杯声。
　　附加题目
　　一定数量的人参加某次聚会，每个人和其他人不多不少只碰杯一次，所有的人总共碰杯55次，请问有多少人参加了这次聚会？
　　我们可以把前n个数字之和，也就是1+2+…+n，用一个简单的公式来表示：1+2+3+…+n=n（n+1）/2。
　　关于这个方程式的由来，有一个小故事。数学家卡尔?弗里德里希?高斯（1777~1855）还在上小学的时候，有一次，老师给学生们出了一道题：数字从1加到100等于多少。令老师感到惊奇的是，高斯在很短的
　　时间就做完了这道题目。因为高斯发现，第一个数字1和最后一个数字100的和是101，第二个数字2和倒数第二个数字99的和也正好等于101，而3+98也同样如此……因此高斯算出答案是50×101。
　　总而言之，n个数字之和一定等于这个数字的一半（n/2）乘以最大的数字与1的和（n+1）。或者用上面提到的方程式表示为：1+2+3+…+n=n（n+1）/2。
　　附加题目
　　有10个人也就是5对夫妻参加了一个聚会。每个人和除自己伴侣以外的其他所有人碰杯，他们一共碰了几次杯？
　　心不在焉的教授
　　教授和他的夫人邀请另外两对好友夫妇共进晚餐。首先，他们一起喝了迎宾鸡尾酒。他们彼此举杯共饮，但不是每个人和所有人碰杯，而是要么仅仅是和其中某几个人碰杯，要么不和任何人碰杯。但无论如何，没有人和自己的另一半相互祝酒。
　　这位教授有点心不在焉，没有注意到谁和谁碰过杯了。当他后来问起时，他的夫人别有用心地说：“我只
　　能告诉你，我们5个人每个人和其他人碰杯的次数都不一样。”
　　教授想了想他夫人的话后说：“那么首先我知道，我和几个人碰过杯，其次我知道，你和谁碰过杯，对象当然跟我一样。”
　　 提示
　　如果其他5个人分别和不同数量的人碰过杯，那么这些数字是多少？
　　 答案
　　答案很有欺骗性：因为没有人和自己的伴侣碰杯，所以每个人最多只能和4个人碰杯。如果这其他5个人碰杯次数都各不相同的话，这些数字只能是4、3、2、1和0。
　　让我们能按照顺序开始：假定教授夫人和其他4个人碰过杯，那么他们一定是被邀请的另外两对夫妻。如果是这样的话，他们中间就没有人与0个人碰过杯，这和教授夫人的说法是矛盾的。
　　所以和其他4个人碰过杯的，必定是友人夫妇中的某个成员——我们姑且说是第一对夫妻中的妻子——这4个人便是第二对夫妻和教授夫妇。这样看来，只有一个人到现在为止没有和任何人碰杯：就是第一对夫妻中的丈夫。所以他一定是那个没有和任何人碰过杯的人。
　　那么还剩下数字1、2和3。如果教授夫人和其他3个人碰过杯，那一定是和第一对夫妻中的妻子及第二对夫妻。既然所有这些人已经和另外某个人碰过杯，那么他们中就没有人不多不少只和一个人碰过杯。
　　所以第二对夫妻的某个成员，例如妻子，必定是和3个人碰过杯，这3个人分别是第一对夫妻中的妻子及教授夫妇。
　　由此推断，教授夫人和教授本人一样，分别都和两个人碰过杯，这两个人分别来自两对友人夫妇，他们各自与4个人或3个人碰过杯。