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在数学中, 魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的德国数学家卡尔•魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897)。

历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时数学家对连续函数的看法

【具体介绍】

德国数学家维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815－1897）于1872年(可能在1861年已经构造，但1872年才正式发表）利用函数项级数构造出了人们认识到的第一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结。

在维尔斯特拉斯的原始论文中，这个函数被定义为：

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这里0 < a < 1, b是奇整数，且

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这个构造过程，连同处处不可导的证明，发表在维尔斯特拉斯的论文（“Königliche Akademie der Wissenschaften” on July 18, 1872.）中。

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上图是一个维尔斯特拉斯函数图，其区间在[-2,2]之间。这个函数具有分形性质：任何局部的放大（红点）都与整体相似。

维尔斯特拉斯函数可能被描述为最早的分形，尽管这个数学名词直到很晚之后才被使用。这个函数在每一个级别上，都具有细节。因此放大每一个弯曲，都不能显示出图象越来越趋近于直线。不管多么接近的两点，函数都不是单调的。在肯尼斯.法尔科内的《分形集合的几何学》一书中，评说经典的维尔斯特拉斯函数的毫斯道夫维数被限定在screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>之内，（这里的a和b是在前面构造过程中定义的常数），这一限定一般认为是正确的、有价值的，但它并没有被严格证明。