加载中…[转载]对当代数学大师、比利时数学家Pierre Deligne的采访
(2013-10-05 10:58:23)
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畅想未来的话：当代数学大师、比利时数学家Pierre Deligne是2013年Abel奖的得主，1970年代对韦伊猜想做了重要贡献。据说，他非常聪明，对数学有着一种天生的本能，许多年轻的数学家都非常崇拜这位数学大师，包括前二天我们的博文提到的恽之玮。下面是一篇对Pierre Deligne采访文章，原文刊登在EMS Newsletter 2013 九月那一期上，由博友李军翻译成中文，我们转帖于此，让更多的中国学子能更深地了解这位数学大师的成长经历。
晚上在EMS Letters 上看到这篇访谈，顺手译了一部分，非常享受翻译的过程。贴出来给感兴趣的看看，不准确之处请见谅。原文出自EMS Newsletter 2013 九月那一期有时间的话希望一周内可以译完。
李军
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Abel奖
Deligne教授，首先恭喜您成为第十一届Abel奖的获得者。这个著名奖项不仅意味着巨大的荣誉，还包括 6百万克朗（大约一百万美元奖金）。我们很好奇您打算怎么处理这笔钱?... ...(哈哈哈....)
给我的感觉是这笔钱是属于数学而不是我个人的，我的责任是明智地花掉它。详细情形我现在还没想好，不过首先我计划把一部分捐给对我个人最重要的两个研究所：巴黎的IHES和普林斯顿的IAS.
然后我想用一部分来支持俄罗斯数学的发展。第一个要提到的是HSE(Higher school of Economics) 的数学系，我认为这是Moscow最好的地方之一。它比(Moscow大学)的数学力学系要小很多，但是有非常出色的教授和学生。它的学生人数比较少：每年只接收大概五十个学生，但都是最好的学生。HSE由经济学家创建，他们在困难的条件下付出了巨大的努力。它的数学系五年前在Independent University of Moscow的帮助下成立，现在已经为HSE赢得了巨大的荣誉。我想在那儿一些钱会起到很好的作用。
另一个我想捐赠的机构是由俄罗斯慈善家Dmitry Zimin创立的Dynasty基金会。尽管对他们来说这点钱可能并不是很重要，但这是我表达对他们工作钦佩的一种方式。这是俄罗斯极少数几个支持科学的基金之一，而且他们非常出色地完成了自己的工作。他们出钱支持数学家，物理学家以及生物学家，特别是年青人，这在俄罗斯是至关重要的。同时他们还通过出版来普及科学。我想以比较实际的方式来表达我对他们的钦佩。
Abel奖当然不是您获得的第一个重要的数学奖。您还赢得过Fileds奖（35年前），Crafoord奖，Balzan奖和Wolf奖。对您个人来说，赢得这些著名的数学奖重要吗？这些数学奖的存在对数学重要吗？
就个人来讲，那些我敬重的数学家认为我的工作很有意思，这令我很高兴。Fields奖帮我得到了IAS的邀请，得奖带来了很多机会，不过这并没有改变我的生活。
我想奖项作为一个可以向公众谈谈数学的借口挺有用的。我发现Abel奖有一点非常好，它伴随着一些其他活动，像面向孩子们的竞赛，颁给高中老师的Holmboe奖。从我的经验来看，好的中学老师对数学的发展十分重要。所有这些活动都很了不起。（畅想未来注：和我们国家的某些教授对中学生学科竞赛的看法差异很大啊！）
少年时代
您生于二战末期（1944年）的布鲁塞尔。我们非常想听您说说您开始接触数学时的情形。您受家庭还是学校的影响多一点？您还记得这些吗？
我很幸运有个大我十一岁的哥哥。看气温表的时候我意识到有正数和负数，而我哥哥就向我解释-1和-1的乘积是 1.这令我感到不可思议。我中学的时候他教我二次方程。他大学的时候给了我一份关于三次方程的笔记，里面有一个很怪异的公式给出了方程的解。我觉得这些都很有趣。
当我成为童子军的时候，又极其幸运的认识了一个朋友。他的父亲，Nijs先生，是一个中学老师。他通过一些方式给了我很大的帮助。首先，他给了我我的第一本数学书，Bourbaki的《Set theory》(看起来并不适合送给一个小男孩)。那时候我14岁，大概花了一年的时间来读懂这本书。我想我还另外听了一些其它的报告。
有机会以自己的节奏学习数学有一个好处：你可以重温历史上那些让人惊奇的事。我已经从其他地方知道怎么从整数定义有理数和实数，但不知道怎么用集合论来定义整数。读了Bourbaki,我知道只要先定义什么时候连个集合元素个数相同，整数的概念就可以由此导出。我还从我家一个朋友那里得到了一本复变函数论的书，复变函数和实变函数的不同让我非常惊奇：可微推出解析，等等。所有这些你们在学校可能觉得无聊的事带给了我巨大的快乐。
然后Nijs先生把我介绍给了那时候在布鲁塞尔大学做教授的Jacques Tits.我可以在高中的时候就去参加他的课和讨论班。（畅想未来注：在我们这儿，似乎有些天方夜谭）
听到你说你那时候就开始读Bourbaki（大家都觉得很难）令我们很吃惊。您可以谈一谈您正式的教育历程吗？那是您觉得有趣还是无聊？
我遇到了一个很好的小学老师。我觉得我在小学比中学学到的东西更多：读，写，算术和其它一些事。我记得他做了一些数学实验来帮助我们思考数学证明，曲面和长度。问题是比较拥有相同半径的半球面和圆盘。他用螺旋绳来覆盖两个曲面，结果半球面需要两倍长度的绳子才能覆盖。这促使我想了很多：怎么能够用长度来量度一个曲面？怎么确定半球面的面积确实是圆盘面积的两倍？
高中的时候我喜欢几何学问题。几何证明对那个年龄的孩子有意义是因为令人觉得惊奇的结论证明起来并不是特别难。掌握了那些公理之后，我非常喜做着那些几何练习题。我想几何学是中学里唯一证明有意义的那部分数学。另外，写下一个证明也是种很好的练习：你要用正确的法语来来说明为什么是对的。几何学和语言相比数学其他分支，例如代数，来说有更紧密的联系。在代数中，你有一些方程，但是逻辑和语言的作用并不是那么明显。
您16岁时就去参加Jacques Tits的演讲。有一个故事说您有一个星期您因为要参加学校旅行而不能出席... ...
是的。我也是很晚才听说这事。Tits开始报告的时候问：“Deligne在哪儿？”当人们告诉他我去参加旅行时，他把演讲推迟到了下个星期。
他那时候可能已经把你当作一位才华横溢的学生了。Jacques Tits也是Abel奖得主。他五年前和Thompson一起因为他们在群论中的工作得到了这一奖项。他当然是对您影响很大的老师了？
是的。特别是早年。教书的时候，最重要的是什么事情你不去做！例如，Tits要解释群的中心是个不变子群。他开始证明的时候只是停下来说“不变子群是指在所有内自同构下不变的子群。我们已经定义了中心，它在所有对称下稳定，所以它显然是不变的。”
对我来说这是个天启时刻：我意识到对称的力量。Tits并不给一个循规蹈矩的证明，只是向我们展示对称使得结论显而易见。这给了我很大的影响。我很喜欢对称，几乎在我的每篇文章中都有基于对称的argument.
你还记得Tits是怎样发现你的数学才能的吗？
这我不知道，可能是Nijs先生告诉他好好照顾我。那时候布鲁塞尔有三个活跃的数学家：Tits,Frantz Bingen和Lucien Waelbroeck.他们每年都组织一个不同主题的讨论班。我参加了这些讨论班，学了很多不同的东西，像Banach代数（Waelbroeck的专长），代数几何。
然后，我猜想他们三位觉得我是时候去巴黎了。Tits就把我介绍给了Grothendieck,告诉我去参加他和Serre的演讲。这是非常好的建议。
代数几何
在说及您的巴黎生涯前，也许我们应该先向读者说说什么是代数几何。
在今年Abel奖宣布另一位Fields奖得主Tim Gowers需要向公众介绍您工作的领域代数几何时，他从一开始就承认那对他是个很难完成的任务。很难通过图形或者某些简单的应用来解释这门学科。您可以试着给我们说说什么是代数几何吗？也许您可以提一些能够连接几何与代数的问题。
数学中两条不同的思维路径相遇时总是令人兴奋的。笛卡尔说过；"几何学是一门用错误的图形（Figures）作出正确的推理的艺术。"（笛卡尔的话中）“图形”用了复数形式：要有多种不同的观点并且知道每一种是怎么错的，这非常重要。
在代数几何中，你可以运用两方面的直觉：代数的（摆弄方程）和几何的（画图）。如果你画一个圆同时写下一个方程
代数几何可以用到算术上。一个多项式方程你可以把它看成定义在不同的数系上。例如，在定义了加法和乘法的有限集合上，这时这些方程引起了一个自然的组合问题：计算解的个数。但是你仍然画出了同一个图形，并且心里知道图形是“错误的”，这样你就可以运用几何直观来考虑组合问题。
我从来没有在代数几何中心工作过，我只是经常对各种触及这一领域的问题感兴趣。但是代数几何和很多其他领域有关系。一旦出现一个多项式，我们可以尝试以几何的方式看待它：例如物理学中的Feymnan积分，有理多项式的积分等等。代数几何还可以帮我们了解多项式方程的整数解。我们有古老的椭圆函数理论：为了理解椭圆积分，几何解释是至关重要的。
代数几何是数学中的一个主要分支。您认为学习代数几何比学习其他数学分支要难吗？特别是对一个初学者来说。
我想代数几何难以入门是因为你需要掌握很多不同的工具。首先，上同调理论是不可或缺的。另一个原因是代数几何不同的发展阶段有不同的语言。意大利学派不太严格，正如那句声名狼藉的谚语表明的：“在代数几何中，一个反例是对一个定理的有益补充”。然后Zariski和Weil建立了一个更严格的基础。接下来Serre和Grothendieck给了一种更强大的语言。用新的概形语言我们可以表述更多的东西：它可以覆盖算术应用和几何。但是需要时间来理解这种语言的强大。当然，你需要知道很多的基本定理，但我觉得这不是最主要的障碍。最主要的困难是懂得Grothendieck所创造的语言的能力和它与我们几何直觉的关系。
巴黎学徒
您在巴黎遇见了Grothendieck和Serre,可以谈谈对他们两位的第一印象吗？
1964年十一月的Bourbaki讨论班上Tits把我介绍给了Grothendieck.我被他吓了一跳：光头，身材高大，然人觉得有点古怪。我们握了握手，但直到几个月后我去巴黎参加他的讨论班前都没有其它的交流。
和他的交往是非常特别的经历。他以自己独有的方式表现得坦率而友好。还记得在我参加的第一次演讲中，他多次用了"cohomology object "这个词。我知道Abel群的上同调（cohomology），但是不懂什么是"cohomology object"。我在演讲结束后问他这个词的意思。我想也许许多其他数学家会觉得如果你不知道这问题的答案的话，跟你讲也没有任何意义。但他不这样认为，他很耐心地解释说如果你有一个Abel范畴中的链复形（注：原文是长正合列，貌似口误），你可以用一个映射的核除以前一个映射的象，等等... ...我马上懂得我已经在一个特殊情形下见过了。他可以容忍别人的无知。我猜你最好不要问他同一个愚蠢的问题三次，但两次就没有问题。
我不怕问愚蠢的问题，并且一直有这样的习惯。每次听演讲的时候我总是坐在前排，遇到我不懂的东西就提问，即使是问题的答案是假设我应该知道的。
我很幸运Grothendieck要求我整理他前一年的的报告。他给了我他的笔记，我学了很多东西，包括笔记的内容，还有书写数学的方式... ...这两方面都是以平实的方式：写满一张纸的一面而将另一面留出来好做一些注记，但是不能有任何错误的表述。这特别不容易，我们经常图方便。例如，使用记号前后不一。这在他那儿是通不过的。他说我的第一稿太短了，缺少细节... ...这样整个工作要完全重做。这种训练对我很有好处。
Serre是个性完全不同的人。Grothendieck喜欢把事情推进到它天然的一般性来达到对理论整体的理解。Serre欣赏这一点，但他更喜欢漂亮的特例。他在法兰西学院讲椭圆曲线的时候，把各种不同的观点（包括自守形式）汇集到了一起。Serre知识面更广博。只要有需要，Grothendieck总是把所有的事情自己重做一遍，而Serre则会告诉人们你可以在什么文献中查到这个。Grothendieck读的东西很少，他和意大利古典代数几何的联系主要是通过Serre和Dieudonne.我想是Serre像Grothendieck解释了Weil猜想和它的意义。Serre关心Grothendieck做的那些大构造，但他本身志趣不在于此。他喜欢像模形式这种小巧但很多漂亮性质的东西，喜欢具体的问题，例如系数的同余。
他们个性非常不同，但我想他们之间的合作是非常重要的，这使得Grothendieck可以做出他的一部分工作。
您说过需要参加Serre的讨论班使自己脚踏实地？
是的，在Grothendieck的一般性中沉浮是很危险的。在我看来，他从来不考虑没有作用的一般性，但是Serre教会我其它各种不同的主题，最后都证明是非常重要的。
Weil猜想
您最重要的结果是证明了第三个，也是最难的那个Weil猜想。但是在谈论您的成就之前，可以解释一下为什么Weil猜想那么重要吗？
Weil在一维，代数曲线的情形已经证明了一些定理。定义在有限域和有理数域上的代数曲线呈现出很多相似性。在有理数域上，中心问题是黎曼假设。Weil在有限域证明了曲线上类似的黎曼假设。他考察了高维的情形。那时候人们开始掌握一些简单代数簇，像格拉斯曼流形，的上同调。Weil发现有限域上的一类计数问题和复数域上的情形，相关的定义在复数域上的空间的形状有联系。
正如Weil观察到的，Weil猜想包括两个重要的方面。首先，为什么在一个明显的组合问题和复数域上的几何问题之间会有联系？其次，l黎曼假设的类似物应该是什么样的？这些类似引导出两类应用。第一类始于Weil，可以得到一些算术函数的估计。对我来说这并不是最重要的。Grothendieck的形式构造解释了为什么复数域上的几何（在这里我们可以运用拓扑）和一个组合问题之间会有联系，这更重要。
另外，有限域上的代数簇上有一个标准的自同态，Frobenius映射。它可以视为一种对称，这种对称使得整个情形显得rigid。我们可以将这一信息翻译回到相关定义在复数域上的空间的几何上，这导致了在古典代数几何世界中的一些约束。这一点可以用在表示论和自守形式理论中。最开始并不是很容易看出这种应用，但对我来说这就是Weil猜想为什么重要的原因。
Grothendieck有一个证明Weil猜想的纲领，但是并没有实现！您的证明走了一条不同的路。可以评论一下他的纲领吗？它影响了您的证明方法吗？
不，我觉得从某种意义上来讲，Grothendieck的纲领是给出证明的障碍，因为它引导人们只从一个方向来看待这个问题。一个遵循纲领的证明应该令我们更满意，因为它可以同时解释很多其它有趣的事。但是整个纲领依赖于你要能在代数簇上找到足够多的代数闭链（algebraic cycle）,这个问题从70年代开始就几乎没有任何进展。
我用了完全不同的想法，它是受Rankin和他关于自守形式工作的启发。它也有一些应用，但并没有实现Grothendieck的梦想。
我们听说Grothendieck虽然也非常高兴Weil猜想被证明了，他还是感到有点失望？
是的，并且那是很有道理的。如果他的纲领被实现，那会好得多。他觉得没有其它的方式来证明。当听说我给出证明时，他觉得我肯定实现了他的纲领，但事实上没有。我想这就是他失望的原因。
给我们讲讲Serre对你证明的反应。
在我还没有得到完整的证明但是清楚一个可供检验的例子时，我给Serre写了一封信。他收信时正好要去医院做肌腱拉伤手术。他后来告诉我他是以非常愉悦的心情进入手术室的，他知道现在证明大概已经完成了。
很多有名的数学家都对您的证明感到惊讶。可以解释一下您是怎样得到证明想法的吗？
我很幸运同时掌握了所有需要的工具并且意识到这些工具能行。一部份证明后来被Gerard Laumon简化，所以这些工具的一部分不再必须了。
那时候Grothendieck想把Solomon Lefschetz在20年代关于代数簇上超平面截面族的工作放到代数框架内。Lefchetz有一个非常有趣的后来由William Hodge证明的陈述,后来被称作Hard Lefschetz定理。Lefschetz的方式是拓扑的。与通常人们可能认为的相反，一个拓扑的论述比一个解析的论述（Hodge的证明是解析的）更容易转换成抽象代数几何。Grothendieck让我去看看Lefschetz 1924年的书《位置分析与代数几何》。这本书很漂亮并且直观，它包含了我需要的一部分工具。
我对自守形式很感兴趣。我想是Serre告诉我Robert Rankin的一个估计，我仔细检验了一下。通过证明对一些相关的L-函数（用Landau的结果），极点的位置给出了局部因子极点的信息，Rankin得到了对模形式系数的非平凡估计。我看到因为Grothendieck的工作中对极点的控制，只要用平方和是正数，同样的工具可以更简单的用在这里。这就足够了。极点比零点更容易理解，从而有可能利用Rankin的想法。
这样我就掌握了所有这些工具，但我说不上来这些工具是怎样结合起来的。
接下来的工作
什么是motive?
一件奇怪的事情是代数簇上不止一种，而是有很多种上同调理论。这包括对每一个不同于特征的素数l有一个l-adic理论，特征零的时候有代数De Rham上同调。看起来这些理论只是以不同的语言一遍又一遍地讲了同一件事情。motive的哲学是：这里应该存在一个取值于motive范畴的万有上同调理论，所有这些理论都可以从它导出。对光滑射应代数簇的第一上同调群，Picard簇H^1扮演了motive的角色：Picard簇是Abel簇，所有上同调理论的第一上同调都可以从它导出。这样，Abel簇（相差一个isogeny）是motive的原型。
Grothendieck的一个关键想法是我们不应该试着去定义什么是motive，而是应该去定义motive范畴。这应该是一个Abel范畴，它的Hom群是有限维有理数域上的线性空间。至关重要的，上面应该有一个取值域motive范畴的张量积运算，好用来陈述万有上同调理论中的Kunneth定理。如果只考虑光滑射影代数簇，得到的称作pure motive.Gtothendieck提出了一个pure motive范畴的定义，并且证明如果这个范畴有某些性质（模仿Hodge 结构的性质），那么就可以推出Weil猜想。
为了使得他提出的构造可行，需要存在足够多的代数闭链。这个问题几乎没有任何进展。
您其他的结果呢？Weil猜想之后哪项工作是您特别喜欢的？
我喜欢复代数簇上的混合Hodge结构。开始的时候motive的哲学起了很大的作用，尽管它并没有在最终的工作中出现。motive的哲学提示我们，在一个上同调理论中可以做的事情，你应该看看在其它理论中对应的东西。对光滑射应代数簇，Galois群作用扮演的角色类似与复数域上Hodge分解扮演的角色。例如，Hodge猜想（利用Hodge分解表述）对应于Tate猜想（利用Galois作用表述）。在l-adic情形，上同调和Galois作用对奇异簇或非紧簇都是有定义的。
这使得我们问：在复数域的情形相对应的是什么？在l-adic上同调理论中存在一个递增加权滤子（weighted filtration）W,这里第i个商W_i/W_{i-1}是光滑射影代数簇上同调的子商。这给了我们一个线索。另一个线索来自于Griffith和Grothendieck的工作，他们表明Hodge滤子比Hodge分解更重要。所有这些线索导致了混合Hodge结构的定义，表明它们形成一个Abel范畴，告诉我们怎么构造它们。
langlands纲领呢？您参与了它的工作吗？
我对它很感兴趣，但做的工作很少。我只做了一点关于GL(2)的工作，两个变量线性群的情形。我试过去弄明白一些东西。最近Ngo证明基本引理时用到了Weil猜想一个微小的应用。我自己没做多少工作，虽然我对Langlands纲领很感兴趣。
Caution：关于L函数那一段我翻得很没把握，因为一点都不懂。
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