序言

    在美国电影《决胜21点》（或译为《攻陷拉斯维加斯》）中，作为麻省理工学院的高年级学生，本·坎贝尔自然想去更高的学府继续进修，而他也真的考上了哈佛大学的医学院……然而高达30万美元的昂贵学费却让他望尘莫及，因为现在他只能在周末的时候去男装店打打工，每小时只有8美元的薪水可拿。至于他那寡居的母亲，也提供不了什么实质性的帮助，本想要继续上学的愿望，只能依靠赢得奖学金来实现了，可是要知道对于这种一流的学校来说，其他竞争者也不是什么省油的灯啊，本一时陷入了进退两难的愁苦当中。

　　这时候，数学教授米基·罗沙看中了本那过人的聪明头脑，决定拉本入伙，加入他组织的那个高度机密、风险也极高的赌博小组，里面除了本，还有其他5位同样来自于麻省理工的学生，其中包括了一个高智商的美女以及两名亚裔学生……米基设计了一个非常简单的玩牌方案，可以通过“记牌”在21点的赌局中无往不利，很快，本的周末就都耗在了拉斯维加斯的赌场当中，如此有效又快速的赢钱方式，让他沉迷于其中不能自拔。而他们这些人，也迅速成了赌场的眼中钉，同时还委派备受压力的安全顾问科尔·威廉斯向米基发起了反击。

    教授米基·罗沙发现本·坎贝尔的数学天赋就是本·坎贝尔在课堂上回答三门问题的思维敏捷和独到。

    蒙提霍尔问题，亦称为蒙特霍问题或三门问题（英文：Monty Hall problem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目 Let's Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。

三扇门问题

    这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？如果严格按照上述的条件的话，答案是会—换门的话，赢得汽车的机会率是 2/3。

    这条问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。

问题与解答

问题
    以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛莉莲·莎凡（Marilyn vos Savant）专栏的信件：

    假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有甚么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？

    以上叙述是对 Steve Selvin 于1975年2月寄给 American Statistician 杂志的叙述的改编版本。如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许玩者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给 Selvin 的信中所写：

    如果你上过我的节目的话，你会觉得游戏很快—选定以后就没有交换的机会。
                                                                       —(letsmakeadeal.com)

    Selvin 在随后寄给 American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。

    一个实质上完全相同的问题于1959年以“三囚犯问题”（three prisoners problem）的形式出现在马丁·葛登能（Martin Gardner）的《数学游戏》专栏中。葛登能版本的选择过程叙述得十分明确，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。

    这条问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的 Calcul des probabilités 一书中。 在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。

    Mueser 和 Granberg 透过在主持人的行为身上加上明确的限制条件，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述︰

    参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有甚么。
    主持人知道每扇门后面有什么。
    主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
    主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
    如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
    如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
    参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。
    转换选择可以增加参赛者的机会吗？

解答
    问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。

    有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰

    参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
    参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
    参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。
    在头两种情况，参赛者可以透过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者透过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是透过转换选择而赢的，所以透过转换选择而赢的概率是2/3。

    如果没有最初选择，或者如果主持人随便打开一扇门，又或者如果主持人只会在参赛者作出某些选择时才会问是否转换选择的话，问题都将会变得不一样。例如，如果主持人先从两只山羊中剔除其中一只，然后才叫参赛者作出选择的话，选中的机会将会是 1/2。

另一种解答是假设你永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。

要正确理解三门问题，可以再看两个三门问题的翻版： 

女孩的概率

1. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。那么，两个都是女孩的概率是多少？

答：三分之一。

因为生两个孩子的可能性有四种等可能：BB、GG、BG、GB（即男男、女女、男女、女男）。 因为我们已知至少有一个女儿，所以BB是不可能的。因此GG是可能出现的三个等可能的结果之一，所以两个孩子都是女儿的概率为三分之一。

这对应了三门问题的第一种情况。

2. 你结交一位新朋友，问她是否有孩子。她说有，有两个。你问，有女孩吗？她说有。第二天，你看见她带了一个小女孩。你问她，这是你女儿吗？她说，是。她的两个孩子都是女孩的概率是多少？

答：二分之一。

这似乎非常奇怪，因为我们所拥有的信息看起来并不比第一种情况时多，但概率却不同。但是这里的问题其实是，那个你没见过的孩子是女孩的概率是多少？这个概率和生女孩的概率相同，二分之一。

这对应了三门问题的第二种情况。当然这里也有语言问题，必须假定这位母亲不是特定带出一个小女孩来给你看的。也就是说你只是碰巧发现了它是位小女孩。

你得到的答案依赖于所讲的故事；它依赖于你是如何得知至少一个孩子是女孩的。

三囚犯问题

亚当、比尔和查尔斯被关在一个监狱里，只有监狱看守知道谁会被判死刑，另外两位将会获释。有1／3的概率会被处死刑的亚当，给他母亲写了一封信，想要获释的比尔或查尔斯帮忙代寄。当亚当问看守他应当把他的信交给比尔还是查尔斯时，这位富有同情心的看守很为难。他认为如果他把将要获释的人的名字告诉亚当，那么亚当就会有1／2的概率被判死刑，因为剩下的人和亚当这两人中一定有一个人被处死。如果他隐瞒这信息，亚当被处死的概率是1／3。既然亚当知道其他两人中必有一人会获释，那么亚当自己被处死的概率怎么可能会因为看守告诉他其他两人中被获释者的姓名后而改变呢？ 

正确的答案是：看守不用当心，因为即使把获释人的姓名告诉亚当，亚当被处死的概率仍然是1／3，没有改变。但是，剩下的那位没被点名的人就有2／3的概率被处死（被处死的可能性升高了）。

这位看守显然很有趣。对他来说，这三个人死不死的概率是不变的：1、0、0。有一个必死，两个必活。

我们旁观者认为亚当会死的概率是1/3,那是因为监狱里有3个人，会死1个。现在看守说出一个名字后，我们旁观的人知道是2个里面死1个，亚当在内，则亚当会死的概率上升到1/2。凭什么说在旁观者看来，亚当会死的概率不上升？