【1】如图1：在三角形ABC中，E、F和G、H分别为AC边和BC边的三分点，求：四边形MGHN的面积占三角形ABC面积的几分之几？

                     (图1)                                          （图2）

 

 

                                        （图3）

 

解：设三角形ABC的面积为1。

    (1)连接CN,如图2，则：

    3a+b=1/3

    a+3b=1/3

    解得：a+b=1/6

    (2)连接CM，如图3，则：

    3x+y=1/3

    2x+3y=2/3

    解得：x=1/21

    (3)S四边形MGHN=1/3-(a+b+x)

                 =1/3-(1/6+1/21)

                 =5/42

 

【2】如图：在三角形ABC中，已知BE=3EC,BD=2DA,求：三角形AOD和三角形EOC的面积之和占三角形ABC面积的几分之几？

 

解：连接BO，设S△EOC=X,S△AOD=Y,三个三角形的面积如图所标示，则：   

    S△AOC=(2y+4x)*1/2-y=2x    或S△AOC=（3x+x）*1/2=2x

    (y+2y+3x)=3*(2x+x)   y=2x

    S△EOC+S△AOD=(y+x)=2x+x=3x

    S△ABC=6X+3y=6x+6x=12x

    所求：（S△EOC+S△AOD ）：S△ABC=3x:12x=1:4  

 

 【3】如图：在三角形ABC中，已知BE=3EC,D为AE的中点，求：AF:FC=?；BD:DF=?

 

    解：图中所标示的为5个三角形的面积，则：

    a+b=1

    b：a=3:4

    a=4/7;b=3/7

    所求：AF:FC=3/7:4/7=3:4

          BD:DF=3:3/7=7:1

 

【4】如图：正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边的中点，求：凹五边形AEFDN的面积？

    解：因为△MON相似于△DNF，MO:DF=1:2,

        所以ON:ND=1:2

        S△DNF=1/4*1/2*2/3

              =1/12

        所求：S凹五边形AEFDNS=S△AEF+S△DNF

                         =1/2*1/2+1/12

                         =1/3

 

【5】如图：直角三角形ABC的边长分别为5、12、13厘米，将AB边对折到AC边，求阴影部分的面积。

解：因为三角形ABD与三角形ADB'全等，所以AB=AB'

    AB'=5(cm)，CB'=8（cm）

    三个三角形的面积按比例分配为：8、5、5份

    所求：三角形CDB'的面积=1/2*5*12*8/(8+5+5)

                          =40/3(cm²)

 

【6】如图：长方形ABCD的面积为1，BE=3EA，BF=2FC，求：阴影部分的面积=？

解：a+x+y=1/2*2/3*1=1/3,

因为：a+x=1/2*1/4*2/3=1/12

      b+c=1/2

所以：（a+x）:(b+c)=1/12:1/2

                   =1:6

因为：a与b同底AG边，a与（a+x）同高，b与（b+c）同高，

所以：a:b= （a+x）:(b+c)=1:6

又：a+b=1/2*1/4*1=1/8

故：a=1/8*1/(1+6)=1/56

所求：x+y=1/3-1/56

         =53/168

 

【7】两个长方形叠放在一起（如图），小长方形的宽为2米。H为大长方形AB边的中点，角DAG=45°。那么图中阴影部分的面积是多少平方米？

解：因为角DAG=45°，所以三角形AEH、BHF、FCG、GDA均为等腰直角三角形，

    设大阴影三角形的腰为a(m),小阴影的腰为b(m),则：

    a²=2²+2²,b²+b²=2²

   所求：1/2*a²+1/2*b²=4+1=5（m²）

 

【8】正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1、B2、B3、B4、B5、B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影部分的面积是（      ）平方厘米。

解：设正六边形A1A2A3A4A5A6的面积为“1”，则：

可知，三角形A1A2B6的面积为1/12,

三角形B6A3A6的面积为1/6(A6A3=2*A1A2)

梯形A1A2A3A6的面积为1/2,

所以：三角形A2B6A3的面积为1/2-(1/12+1/6)=1/4

三角形B1B6A2面积:三角形A2B6A3面积=1/2*1/12:1/4=1:6

所以，三角形B1oA2面积:三角形A2oA3面积=1:6

三角形A2oA3面积=1/12*6/7=1/14

空白部分的面积：1/14*6=3/7

阴影部分面积：1-3/7=4/7

所求：2009*4/7=1148(cm²)

 

 

【9】如图，在三角形ABC中，AO:OD=3:1,BO:OE=2:1。三角形AOB与三角形AOC的面积之比是多少？

解：设三角形AOE的面积为x，三角形DOC的面积为a，则其余的面积如图所示：

2x:(5a-2x)=3:1

x:a=15:8

令：x=15,a=8

S△AOB：S△AOC=2*15:3*8=5:4

 

【10】如图，将任意四边形的各边延长1倍，若原来小四边形的面积为2平方厘米，大四边形的面积为多少平方厘米？

 

             

解:从上面两个图中可以看出，大四边形的面积为3*（x+y）+3*(a+b)

因为（x+y）=2,(a+b)=2

所求：3*2+3*2=12

 

【11】图中ABCD是梯形，三角形ADE面积是1．8，三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27．那么阴影部分面积是多少?

解：三角形ABF面积：三角形FBC面积=9：27=1：3

AF:FC=1:3

x:y=1:3

1.8:a=1:3,a=5.4

根据梯形中的蝶形定理，（y+a）=9，故：y=9-5.4=3.6

x=3.6/3=1.2

所求：1.2+3.6=4.8

 

【12】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?

解：（x+y）:(5x+y)=1:2

     6x+2y=1/2*2

解得：x=1/12

所求：5x=5/12

 

【13】如图1、2中，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边的中点，那么图1和图2中阴影部分的面积之比为多少？

            （图1）                      （图2）                         （图3）

解：图1中阴影部分由8个红色部分组成，红色部分的面积为1/4个正方形面积的1/4，

    所以，图1中红色阴影部分的面积为(1/4)*(1/4)=1/16；

    图2中阴影部分由8个绿色部分组成。

    图3中，根据蝶形定理，1个红色部分+1个黑色部分=2个黑色部分+1个绿色部分，且黑色部分与绿色部分也相等，

所以，图2中绿色部分面积=2/3红色部分面积=1/16*2/3

所求，(1/16):[(1/16)*(2/3)]=3:2

 

【14】如图，AC=3AE,AB=3AF,BC=3CD,三角形MNP是三角形ABC面积的几分之几？

解：S灰色:S红色=CD:BD=1:2

    S红色:S蓝色=AE:CE=1:2

    S灰色:S红色:S蓝色=1:2:4

所以：S红色=2/(1+2+4)=2/7

同理：S三角形AMC=2/7

      S三角形BPC=2/7

所求：S三角形MNP=1-3*2/7=1/7

 

【15】三角形ABC的面积为320平方厘米，四边形GFMC和HGFD都是梯形，已知D为BC边上的中点，AB=3BE，AM=4FM，求阴影部分的面积。

解：（1）四边形GFMC和HGFD都是梯形，则FG//EC,GH//AD

在三角形AMC中，AM=4FM，所以AC=4GC

同理，在三角形ADC中，DC=4CH

 

所以，三角形CGH与CAD相似，三角形CGH的面积:三角形CAD的面积=(1/4)²   

三角形CGH的面积=(320*1/2)/16=10

(2)过D点作直线DK//CE，则K为BE的中点，所以BK=KE=1/6AB,KE=1/5AK,MD=1/5AD

所以，AM=4/5AD,AF=(4/5)*(3/4)AD=3/5AD

三角形AMC的面积=160*(4/5)=128

三角形AFG与AMC相似，三角形AFG的面积:三角形AMC的面积=(3/4)²

三角形AFG的面积=128*(9/16)=72

(3)S阴=160-（10+72）=78（cm²）

 

【16】如图，三角形ADE与三角形CDE和正方形ABCD的面积之比为2：3：8，三角形BDE的面积为4平方厘米，求四边形ABCE的面积。

 

 解：延长AD,BC,从E点向两条延长线作垂线，设正方形的边长为a,

(1)因为，灰色：黄色：绿色=2：3：4，

所以,EF:CG:AB=2:3:4,

即，CG=3/4a,EF=1/2a,

(2)三角形ABE的面积=1/2*a*(a+3/4a)=7/8a*a

三角形ABE的面积=1/2(a*a)+1/2[a*(1/2a)]+4=3/4a*a+4

7/8a*a=3/4a*a+4

a*a=32

所求：32*(2/8+3/8+1)=52(cm²)

 

【17】已知AB//HF,AD//GI,ABCD为平行四边形，HDIE面积为5，GEFB面积为3，求三角形AEC的面积。

解：设平行四边形AGEH、EFCI的面积分别为a、b，三角形AEC的面积为s.

则：1/2a+3+1/2b+s=1/2(a+3+b+5)

解得：s=1

 

【18】如图，点P在正方形ABCD外，PB= 10cm，△APB的面积是60cm2，△BPC的面积是30cm2,则正方形ABCD的面积是（       ）cm2．
【解】设AB=X,P点到BC的距离为a.则P点到AB的距离为2a.

a^2+(2a)^2=10^2.

a^2=20.

1/2*a*x=30

ax=60

(ax)^2=3600

x^2=3600/20=180.

【19】在等腰三角形ABC中，AB=AC，P点在BC边上的高AD上，且AP:PD=1:2，BP的延长线交AC于E，若三角形ABC的面积为10，则三角形ABE的面积和三角形DEC的面积分别为多少？

解：根据题意设各部分面积分别为如图所示

则有：1/3+2x=1/2-3x

x=1/30

三角形ABE的面积:(1/6+1/30)*10=2

三角形DEC的面积:(1/3+1/15)*10=4