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再谈斐波那契数列与黄金分割

(2013-06-21 00:08:08)
标签:

财经

股票

金融

经济

杂谈

分类: 炒股资源

记得在144天神奇均线以及斐波那契数列通项的求法中,介绍了那波列契数列与炒股的关系,此文介绍黄金分割与大自然的关系,让我们更加体会到黄金分割的奇妙。

说到黄金分割,基本上无人不晓,我们都能说出来黄金分割是0.618或者1.618,我们还知道大自然中有很多黄金分割存在,比如枫叶的叶片和叶柄之比既是黄金比:

http://designpapaya.com/wp-content/uploads/sites/6/2013/03/4.png

 

很多人也会知道这个黄金分割公式:

http://designpapaya.com/wp-content/uploads/sites/6/2013/03/09255IT2-1.jpg

 

但是黄金分割仅此而已么?显然不。

想要详细了解黄金分割,首先需要介绍斐波那契数列。

有据可查的最早发现斐波那契数列的,据说是两个印度人——数学家Gopala和哲学家金月,他们在1150年研究宽度为1和2的箱子的排布问题时,发现了这个数列。之后在12,13世纪,意大利数学家斐波那契正式提出了这个数列。他长的大概是下面这种样子:

http://designpapaya.com/wp-content/uploads/sites/6/2013/03/leonardo-fibonacci-granger.jpg

斐波那契从小随父经商,慢慢对数字感兴趣,有次他在研究一个假定条件下的兔子繁殖问题时发现了斐波那契数列。首先假定兔子一个月后成熟,之后每对兔子都会每个月生下一对小兔,并且兔子永远不会死。第一个月,一对兔子,第二个月,兔子成熟,但数量还是一对,第三个月,兔子产下一对兔子,数量变为两对,第四个月,新生兔子成熟,老兔子又产下一对小兔,数量变为三对,以此类推,第五个月变为五对兔子,第六个月变为八对……

有此得出了后来用Φ表示的斐波那契数列:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …

此数列从第三项开始,每一项都是前两项的和,而随着数值的增加,相邻两项之比会接近0.618或1.618,也就是黄金分割比。

从这个数列出发可以得到下面两个图形:

http://designpapaya.com/wp-content/uploads/sites/6/2013/03/28_120814102658_1.png

左边是以数列的数值做为边长并拼在一起的正方形,右边是把这些正方形的对角用曲线连接起来的样子,而这个曲线就是斐波那契曲线。这两个图,对于设计中的黄金比的应用就很重要了。
在说斐波那契数列在设计中的应用之前,我们可以先看看自然界中存在的斐波那契数列。
http://designpapaya.com/wp-content/uploads/sites/6/2013/03/293.jpg这个植物叫做Sneeze Wort,它的叶子和花朵的数量是严格按照斐波那契数列生长的,具体可以看下面的示意图:
鹦鹉螺不必多言,再明显不过的曲线:
海马的尾巴也是按照这个曲线生长的:
还有植物,它们往往在花瓣或者叶片的走向中隐藏着规律的多条曲线:
下面这个稍微有点扯:
但还有更扯的……
上面这张是错误示范,我想说的是,做设计时如果太重视黄金分割也容易走火入魔,比如用各种圈圈叉叉去切割各种LOGO,很多时候在非常莫名的细节处去抠黄金分割,但大比例却丑的要命,这种设计实在是有点无语。
我们再回到植物,向日葵的花盘隐藏着顺时针和逆时针不同方向的斐波那契曲线,有时间的植物学家经过研究发现,向日葵花盘的顺时针和逆时针的曲线数量不相等,而且一定是斐波那契数列中相邻的两项,根据花盘大小的不等,它们的数量是这一段数列中相邻的两项:21, 34, 55, 89, 144, 233。
其实还有很多植物身上藏着两种方向的曲线,并且数量也是斐波那契数列中相邻的两项,比如松果是5和8,而菠萝是8和13。
说了这么多,我们稍微进入一下正题,也就是斐波那契数列在设计中的应用。
下面是英国的国家野花中心,非常明显的对曲线的应用。如果不是考虑到这个建筑本身就是为上面说的那些植物而建的,我觉得这样应用曲线还是比较低级的。。。
很多摄影中有对曲线的应用:
还有很多LOGO的设计中运用了斐波那契数列,下面是BP和百事的LOGO,都用到了直径为斐波那契数列的圆去做各种曲线的切割:
还有最为经典的苹果标志,这颗看起来简单的苹果图形几乎每一处曲线都取自直径为数列中数字的圆:
苹果云服务的Icon也是黄金比例的圆组成的:
Twitter的网页版式也是符合曲线的矩阵,不过这个版式只在常规的浏览器宽度下出现,当宽度增加,整个页面拉宽,版式比例也随之改变,这也是不要一味死忠黄金比例的有力证据:
黄金比例能稳定的达成“普世的美”,但这个精确的数字毕竟要靠计算才能实现,于是一些简化了的但同样能保证效果的构图方法作为黄金比例的延伸而出现了,比如摄影中一个非常通用的构图方法——九宫格:
这种方法就是把画面中的一些元素放置在九宫格中间的四个交叉点上,或者让画面中的各种线条能符合横竖的四条线。
如果从九宫格再延伸,还可以说到网页设计中的960栅格系统:
960栅格系统也包含很多详细的方法,我们留待以后再说。
最后,我觉得作为设计师,知道怎样能徒手找到黄金分割点还是稍显必要的。如下图:
如果给出了线段AB,怎样找到它的黄金分割点?首先从A延伸出一条垂直于AB的Y轴,以A为中心AB为半径画圆,圆与Y轴的交点记为X。找到AX的中点,记为Z,连接ZB,然后以Z为中心ZB为半径画圆,圆与Y轴的交点记为Y。最后以A为中心AY为半径画圆,圆与线段AB的交点记为C,这个C点就是AB的黄金分割点。
以上,就是黄金分割。

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