如图,在三角形ABC中,角C=90度,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC.求证：∠BPM=45°

解法一：

http://s2/mw690/4ea4c0a0gd665d6603df1&690

如图设出长度

则tanAMC=y/x

tanBNC=(x+y)/(y-x)

所以tan(AMC+BNC)

=[y/x+(x+y)/(y-x)]/[1-y/x*(x+y)/(y-x)]

=-1

所以角AMC+角BNC=135度

所以角MPN=360-90-135=135

即有角BPM=45度

解法二：

http://s3/mw690/4ea4c0a0gd665e1bd8202&690

过M作AC的平行线，过A作BC的平行线，两线交于Q。
连结NQ。QM与BN交于S。
容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,
又AQ:QN=QM:QB,
∴△QAM∽△QNB,
∴∠AMQ=NBQ,
又∠PSM=∠QSB,
∴根据三角形内角和等于180，得
∠MPS=∠BQS，
∵∠BQS=45,
∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°，
即∠BPM=45°。

解法三：

http://s3/mw690/4ea4c0a0gd665ea54f342&690

过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC

∴ME⊥BC

在△BEM和△AMC中，

ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝90⁰，BM＝AC

∴△BEM≌△AMC

∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90⁰

∴∠2＋∠4＝90⁰，且BE＝NE

∴△BEN是等腰直角三角形

∴∠BNE＝45⁰

∵AM∥NE

∴∠BPM＝∠BNE ＝45⁰