《数图形的学问》教学设计

高灿（2021.01.07在线公开课教学设计）

教学内容：新世纪小学数学四年级上册第93-94页的《数图形的学问》。

教材分析：

 教科书创设了“鼹鼠钻洞”和“菜地旅行”两个有趣的问题情境，除了意在激发学生探索规律的兴趣外，重要的是让学生把一些实际问题抽象到数学领域，再以数学的思维方式进行探索。内容的编排是先给出学生探究学习的路径，让学生在探究学习过程中形成数学方法，也就是在鼹鼠钻洞中学到了不重复不遗漏地数线段（4个点)的方法，感受到有序思考的价值，发展数学思维。在菜地旅行中让学生迁移有序思考的方法，探索5个点、6个点的线段条数，并在点数从4增加到6的过程中，由简单到复杂地引导学生经历不重复、不遗漏地数图形的过程，逐步把握线段条数的变化规律。这既有利于发展学生有序思考的习惯，感受问题中隐含的数学规律，也利于学生利用图形描述和分析问题，体会几何图形可以把数学问题变得简明与形象，发展初步的几何直观能力。菜地旅行这个问题情境虽然富有童趣，但是在现实生活中没有这些菜地的站点，学生感觉比较陌生。我们在研讨的过程中将菜地旅行这一情境换成了坐从潜江到成都的动车这一情境，设计的问题有5个、6个动车站，单程要准备多少种不同的动车票？然后再解决7个、8个动车站要准备多少种不同车票的时候，就能运用自己归纳的规律去解决，学生不断思考、发现、归纳、应用，整个活动都是在学生的思维层面进行的

学情分析：

  1.小鼹鼠一共有多少种不同的行走路线？你有哪些办法解决这个问题？

2. 你经常坐下面哪种交通工具？在后面括号内打√。公交车和动车有什么不同之处？（可多选）写清楚坐过几次动车？

公交车（     ）   动车（      ）     

公交车和动车的不同之处（可以从车票、路程和车子外观等方面去比较）：

  这是我做的第二次前测测试，从我们年级的5班和7班中抽查了40名学生。第1小题，做对了的只有5名学生，其中有的是用语言叙述的，有的是用符号表示的，这些做正确的孩子是平时比较聪明的，但是也不能说明他们是按一定顺序数出来的答案，剩下的35名学生都是利用三年级学过的《搭配的学问》这一知识来做的，其中有10名学生认为洞口有3个。学生对这个情境的理解存在困难，特别是“向前走”。学生以为从每个洞口进入以后，选择出来的洞口的个数都是4个，所以很多学生都是用4乘4来解决的。在接下来的课堂要让学生明白虽然都是任选，但是加上“向前走”这个条件后，能出来的洞口就不是4个洞口中的任意一个了，也就是选择进入的洞口不同，能出来的洞口个数都是不同的。

   从第2小题，为了避免学生将汽车与公交车弄混，当初设想利用动车这一情境可能效果更好些。从学生的回答中能看出学生们对动车并不陌生，公交车虽然也有不同的站点，无论路途近还是远，但是票价都是一样的，不需要准备各种不同的车票。选择动车站点更贴近学生的生活实际，也能帮助学生理解单程一共要准备多少种不同的车票。

教学目标：

1.结合问题情境，经历把生活中的现实问题抽象成数图形的数学问题，并利用多样化的画图策略解决问题的过程，发展几何直观。

2.在数图形的过程中，逐步形成有序思考的良好习惯，发展推理能力。

3.在发现规律的过程中，能够独立思考和自主探究，增强学习的自信心，提高对数学问题探索的兴趣。

教学重点：经历把生活中的现实问题抽象成数图形的数学问题，并利用多样化的画图策略解决问题的过程。

教学难点：逐步形成有序思考的良好习惯，归纳总结发现规律,发展推理能力。

教学过程:

一、创设情境，导入新课（5分钟）

师：今天老师给你们带来了一幅漂亮的图画，我们来一起看一看（出示情境图），谁来说一说你从图中看到了什么？

预设：我看到了小鼹鼠和4个洞口或是一段话。

当学生说出有4个洞口的时候，让学生上来指一指这4个洞口的位置。

设计意图：这样可以帮助学生看清究竟有几个洞口，在前测作业中有很多学生在示意图中画的是3个洞口，为了避免学生在画示意图时把洞口的个数弄错而导致路线的条数与答案6条有差距。

师：你能用自己的语言说说你对这句话的理解吗？

预设：有学生可能会把这句话再重复说一遍；有学生可能会说就是随便选一个洞口进入，再随便选一个洞口钻出来。

师：你们同意他的说法吗？（预设有的会说同意，有的会说不同意）

师：哪位同学不同意他的说法？请你举个例子说一说。

师：听明白了吗?那你们能根据这个信息为小鼹鼠设计一条行走路线吗？还有谁想说？

师：我也为小鼹鼠设计出了一条路线，它如果从第3个洞口进入，再从第1个洞口钻出来，可以吗？

看来，从第3个洞口进入，要向前走，只能从第几个洞口钻出来？

设计意图：这样可以更好地了解学生是否读懂了小鼹鼠的话，重点让学生理解“向前走”的意思，为后面的学习垫定基础。

师：那小鼹鼠一共有多少条不同的路线可以走呢？

板书：    一共有多少条不同的路线？

设计意图：我们平时的课堂要经常引导学生提出有价值地数学问题，可是学生提出的数学问题是如果从第2个洞口进，可以从哪个洞口出呢？没有一个孩子提出我们本节课要解决的问题。课上如果要引导学生提出一共有多少条不同的路线这个问题，要花费许多时间。为了给学生在课堂上提供充分的思考问题及展示的时间，我就直接提出了这个数学问题。

二、自主学习，探究新知（15分钟）

师：请把你想到的所有的路线在我为你们准备的白纸上表示出来。

（学生展示自己的画法，想法，计法，选择画得不好的和画得好的学生的）你认为谁画得比较清楚？

预设:学生的答案可能不会是我所想要的答案，不过只要学生能说出自己的想法就好。

师：我们来看看淘气是怎么画？课件动画显示如何将情境图抽象成线段图。

生：淘气画的是线段示意图。

师：你觉得淘气画完整了吗？谁想给他提点建议？

预设生：用数字或字母表示洞口。

师：就这样还是看不出来有多少条路线呀？

预设：还要把路线在这条线段图上表示出来。

师：怎样标出来呢?请一名学生说。（再出示有6条路线的完整的示意图）

师：这么多条路线怎么数才能做到不重不漏呢？（按顺序数）

请在小组内交流自己的数法。小组长汇报展示数法，你是怎么数的？听明白了吗？（组织学生听）

师：请你告诉大家，你是按什么标准数的？

师：还有不同的数法吗？你又是按什么标准数的？

   设计意图：让学生在小组内充分展示不同的数法，不会数的学生在小组内听小组长的数法，就能感知只有按一定的顺序数才能做到不重不漏。

利用课件帮助学生数线段图。

师：你们刚才都是数的路线，现在请看这三条比较短的路线分别对应哪几条线段？这样的线段叫基本线段。我们来以基本线段组合条数的多少为序，先一条基本线段一条基本线段地数，有线段AB、BC、CD,3条，再怎么数？

设计意图：教学参考书中以线段（路线）的长短为标准，如果每一段都是一样长的很正确，但是如果以后学生碰到这样的线段图（略）

按一定的顺序数就不能说是以线段的长短为序数了，因为两段合起来比最后那段短，可是我们应该先数那一段一段的，再数两段合为一段的，再数三段合为一段的，为了更准确我们决定引导学生以基本线段的组合条数多少为序数。

预设：把两条基本线段组合为一段地数，有线段AC、线段BD，2条，三条基本线段组合为一段地数，有线段AD，1条。算式列为：3+2+1=6

   师：我们还可以怎么数？我们仍然来数线段，先以哪个点出发数线段？有哪几条线段？（线段AB、AC、AD），从A点为序的线段数完了吗？有几条？用数字几记录呢？再接着以B点为序开始数，有哪几条线段？最后以C点为序开始数，有线段CD。有没有数漏掉的？算式列为：3+2+1=6

设计意图：让学生将实际生活中的路线与数图形（数线段）一一对应，经历将现实情境抽象为数学中数图形的问题，让学生理解只要数出线段的条数就能解决一共有多少条不同的路线？这个现实问题，发展了学生的几何直观能力。

师：课件出示对比这两种数法，两个算式中的数字3表示的线段相同吗?哪位同学说一说上面算式的1指哪条线段?下面的数字1呢？

设计意图：如果学生能说清楚这儿的3或1表示的是哪些线段，就说明学生真正理解了计法与画法的之间的联系，发展学生的几何直观能力。

   师追问：线段中有4个点，为什么是从数字3而不是从4开始加起呢？

设计意图：让学生真正弄懂有4个点，每两个点之间组成一条线段，它本身这一点会与另外3个点分别组成一条线段，所以从3开始加起，初步感知线段图中隐藏的规律。

师：为什么数的标准不同，数的过程不一样，但结果一样呢？

三、深入探究，发现规律（15分钟）

师：同学们真聪明，可是我们的好朋友奇思在出去旅游地时候遇到了这样一道难题，我们去帮帮他好吗？（出示动车站站牌情境图从潜江站到重庆站）奇思想知道单程应该准备多少种不同的动车票？这个问题中你有不明白的地方吗？

设计意图：菜地旅行这个问题情境虽然富有童趣，但是在现实生活中没有这些菜地的站点，反而离学生的实际生活较远，我们在研讨的过程中将菜地旅行这个情境换成了坐从潜江到成都旅行的情境，学生在生活中是不易发现数学问题的，我们教师只有在课堂上用数学的眼光去引导学生，学生才能看到生活中的数学问题，才会去分析现实生活中包涵的数学信息，这样就把书本上的知识与学生熟视无睹的生活情境有机结合起来了。让学生体会到运用数学知识可以解决生活中的实际问题，深切地体会到数学知识与实际生活的密切联系。

预设：不明白“单程”的意思。

师：有谁能解决这位同学提出的问题？（指名学生来回答）

师：弄清楚题目的意思了，现在请你们独立画出示意图帮助淘气来解决这个问题，并有顺序地数一数。

设计意图：借助上一题画示意图的经验，相信会有很多学生主动地画出线段示意图，并按不同的标准数出一共有多少种不同的动车票。

学生动手操作，记录在学习卡上，再上台进行展示，介绍自己是怎么数的？

   请两位学生介绍两种不同的数法。

结合两幅线段图进行对比，将4+3+2+1=10和3+2+1=6这两个算式进行对比，想一想，多增加的这个4是怎么来的呢？让学生看清楚增加的数字4对应的是哪些线段？

设计意图：借助几何直观让学生体会到算式之间的联系,使抽象和难以理解的运算有了依托，同时可以让学生初步感受到点的个数变化与线段条数的变化。两个算式对比，增加的4对应的是线段AE、 BE 、CE、 DE。

师：再增加一个站成都站，有6个动车站点，单程需要准备多少种不同的车票呢？哪位同学说一说你是怎样做的？

设计意图：让学生说出自己的做法，进一步了解学生的思维。如果单独看这一个算式的话，6个站点算式中的5是分类数时的以点的位置为序时，最先以点A出发的线段条数或是以基本线段一段一段地数时数出的5条，帮助学生建立算法与线段图的联系，不仅体现数形结合的思想，也体现几何图形在我们数学课堂中的重要作用。

如果没有学生借助5个动车站点的线段图直接画出6个动车站点线段图。我会引导学生一起来看看笑笑的想法，多增加的这个5是怎么得来的呢？借助课件帮助学生理解增加的5对应的是哪几条线段？

师：有6个站点，为什么增加的是5呢？

设计意图：将5个站点与6个站点的线段图进行对比，让学生理解并体会到每增加一个点，增加的线段条数就是前面的站点数，因为前面的每个站点都要与新增的站点组成一张车票，为学生后面发现规律作好铺垫。

师：如果有7个动车站点，单程又需要准备多少种不同车票呢？8个呢？让学生尝试写出算式，发现规律。

师：观察刚才我们写的这些式子，你有什么发现？

   预设生1：每增加一个动车站点，增加的不同车票种数就是原来的站点数。

生2：每次第一个加数都比点数少1，一个比一个少1加下去，加到1为止。

师：追问学生为什么一个比一个少1呢？

设计意图：这个问题可以检测学生是否真正理解了分类数，以第1个点为序的所有线段数完后，就要以下一个点为序来数，先前的那个点就不会再数到了。就会少一条线段，所以一个比一个少1。

师：这个规律对不对呢？我们一起来看一看，8个站点的线段图，谁来说一说算式中的7指哪些线段？

设计意图：由学生归纳推理出规律后，运用规律解决了8个车站的问题，可能有部分学生对这一规律还存在怀疑，让学生利用线段图来说一说算式中每个数字的意义，不仅验证了学生的归纳推理是正确的，而且还能促进学生对这一规律的理解，达到本课学习的目标。  

四、回顾小结，反思评价（3分钟）

师：通过今天这节课的学习，你学会了什么？在这节课上，你觉得你的同伴表现怎样？  

师：其实在我们生活中还存在着很多数图形的学问，这节课数图形是数的什么呢？这儿的学问又指什么？

设计意图：让学生真正理解课题的内涵，体会到数学的本质，增强学生学习的自信心，提高学生对数学问题探索的兴趣。

 

板书设计：

数图形的学问

      有多少种不同的路线？

      以基本线段组合为序：3+2+1=6（条）

      以起点位置依次为序：3+2+1=6（条）           

      单程需要准备多少种不同的车票？

        5个站点：   4+3+2+1=10（种）

        6个站点：    5+4+3+2+1=15（种）