感受文化的力量

          

                                                        ——我读《西方文化中的数学》

 

                                      一

 

对数学史、数学文化的严重匮乏，是我们小学数学教师的先天不足。学完初中数学后跨进师范学校的大门，接触简单的立体几何、代数原理和教学法就走上了教学岗位。有关数学史的介绍大多是在工作以后的教学参考书和课外读物零散获得一些，而对于数学文化，几乎和数学知识是同一概念。第一次看到克莱因的《西方文化中的数学》，内心底就有一种强烈的文化“哺乳”欲望，看完封底上作者的这样一段话后，更是被深深吸引了：

在西方文明中，数学一直是一种重要的文化力量。几乎每个人都知道，数学在工程设计中具有极其重要的实用价值。但是却很少有人懂得数学在科学推理中的重要性，以及它在重要的物理科学理论中所起的核心作用。至于数学决定了大部分哲学思想的内容和研究方法，摧毁和构建了诸多宗教教义，为政治学说和经济理论提供了依据，塑造了众多流派的绘画、音乐、建筑和文学风格，创立了逻辑学，而且为我们必须回答的人和宇宙的基本问题提供了良好的答案，这些就更加鲜为人知了。作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。最为重要的是，作为一种宝贵的、无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供什么价值方面，至少可以与其他任何一种文化门类媲美。

数学的影响、价值和功能真有如此之大？如此之神？如此之夸张？带着这样的疑问，带着对封底每一句话的寻解，我开始了《西方文化中的数学》阅读。

 

二

 

《西方文化中的数学》为美国著名数学哲学家、数学教育家、数学史学家、应用物理学家M·克莱因的一部力作。自1953年在美国出版后，多次再版，深受西方文化届、数学界欢迎，其影响经久不衰。

通览《西方文化中的数学》，你会感觉到克莱因作为著名数学家、数学教育家、数学史家“三家合一”的不凡功力。全书的主脉络是数学发展史，沿着“古希腊—古罗马—中世纪—近现代”一路走来，让读者能很清晰地了解到不同时期数学的发展和突出的成就。前引后连，如一道清澈的溪流，呈现出了数学从原始走向现代、从浅薄走向深刻、从狭窄走向广阔的历程。当然，这并不值得有多惊奇，因为大多数数学史的著作，都是这样来讲述的，甚至于专业性更强。而《西方文化中的数学》让人们倍加赞赏的是，克莱因将这样的数学史放在一个更为宏观的文化背景中娓娓道来，详细阐述了各个不同历史时期数学与文学、绘画、哲学、宗教、美学、音乐、人文科学、自然科学等文化领域的内在联系，详细而透彻的说明了数学对西方文化、理性精神、现代人类思想的发展所产生的深刻影响，有力地证明数学是人类文化的重要组成部分和不可缺少的重要力量。

“一个时代的特征在很大程度上和该时代的数学密切相关。”希腊文化、罗马文化是这一观点的极好例证。正是由于古希腊强调严密推理、追求理想与美的数学高度发达，才使得古希腊具有优美的文学、极端理性化的哲学、理想化的建筑和雕刻，才使得古希腊社会具有现代社会的一切胚胎，也正是由于数学创造力的缺乏，才使得罗马民族缺乏独创精神，罗马建造了高标准的跑马场、浴池、雄伟的凯旋门，但罗马文化却是外来文化。……希腊人最大限度地决定着今天文明本质的贡献是他们的数学，这是希腊人为人类贡献的最好的礼物。

——选自（前言，第xxvii页）

上述文字，我们还只是看到赋予数学史以文化意蕴的概括表白。而在具体的章节中，我们几乎随处可见这种从文化视角对数学史进行的具体解读：

比如，古希腊人对几何与代数厚此薄彼的态度非常明显，这导致了古希腊的几何学和代数学发展的巨大落差。在本书中，不仅对这种数学发展史背后的原因进行了说明：从社会分工角度，“在古典时期，工业、商业、财政都由奴隶管理，虽然受过教育的人可能曾经产生过处理数的新思想、新方法，但他们本人并不关心诸如此类的问题。”从研究爱好角度，“希腊的数学家大多是哲学家，希腊的哲学家都是天文迷。他们研究天空，以探求宇宙的种种神秘现象。但是，对于天文学在航海和历法方面的运用，古典时期的希腊人却几乎没有关心过。形状、性质比测量更符合他们的目的。”从实际运算的角度，特别是从无理数（勾股定理）1+ 的图形表达，“面积、体积表示3个数、4个数相乘”等（p34-37页）。而且，还从现实生活中的运用来加以阐释，“他们的观点是，将一切都转变成线段和图形。例如，如果他们称赞一位妇女或其他任何动物的美丽，他们就用菱形、圆、平行四边形、椭圆和其他几何术语来描绘。在御膳房，看到的全是各种各样的数学和音乐器具，他们将大块大块的肉切成各种圆形后，再送到君王的餐桌上。”（p37页）

当然，也对这种畸形发展的历史影响做出了客观的评述：“希腊人不仅没有发展在工业、商业、财经和科学上必须应用数字系统和代数，而且妨碍了后代的进步，因为后代人受他们的影响，不得不接受这种更为呆板的几何方法。欧洲人变得如此习惯于希腊人的形式和风尚，以致西方文明不得不等待阿拉伯人从遥远的印度给他们引入一套数字系统”（p38页）。

在中世纪向文艺复兴的过渡时期，数学对艺术（尤其是绘画）的影响更是用较大的篇幅进行了生动形象的说明。从西蒙·马尔蒂尼的《圣母领报图》的向现实主义过渡，到杜乔的《庄严的圣母》、《最后的晚餐》中朦胧的三位表现方式，到近代绘画之父乔托的《圣方济之死》、《莎乐美之舞》，到富有人情味的洛伦采蒂《圣母领报图》、马萨乔的《纳税钱》、达·芬奇的《最后的晚餐》等十多位美术大师作品的解读，层层推进，将绘画中对透视的关注、运用，以及渴望从数学角度揭示透视原理的历时进程一一展现出来。直到数学透视学的基本定理和规则的出现，绘画中的透视运用也走向了新的高度。关于这一点，达·芬奇说：“欣赏我的作品的人，没有一个人不是数学家。”绘画是一门科学，它就像其他学科一样，以数学为基础，他甚至极端地表达：“任何人类的探究活动也不能成为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明来开辟自己的道路。”当然，艺术也随之以很好的方式“回报”了数学——射影几何的诞生。

知道了这些，我们就不难理解克莱因所说的“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量”。

 

三

 

优秀的作品总是给人以震撼和崇敬。日本著名交响乐指挥家小泽征尔在第一次听了《二泉映月》后就含着热泪说的一句话：“这样的乐曲只能跪着听” 。《西方文化中的数学》对数学史、数学文化史、数学教育史通俗而有深刻的表达让我从阅读第一页开始就做出了“细读”“精批”“静思”的选择。力求读懂、读透、读有所悟。

1．读懂。

坦率讲，每年看好多书，能让自己逐行逐句逐字细读的书不多。也正因为此，好多书读过之后脑子里留下的东西并不多。或许是想通过阅读尽可能在脑子里构架起数学发展的网络图，或许是因为自身原本在这方面的积累很好更不成系统，因而在读本书的过程中，我总是特别注意把握数学发展的时代特征、著名人物的生平事迹和研究成果。

关于欧几里得和他的《几何原本》，以前知道一点但并不太多，尤其是它产生的背景和数学史地位。通过阅读，我了解到它是一个严谨的借助演绎推理展开的系统。欧几里得在“象牙塔里”从5个公设推出了欧氏几何的庞大体系，这些导出的数百条几何定理居然能解释现实空间，太让人“匪夷所思”了！难怪古希腊人坚信：“上帝在一开始就创造了数学，然后再按照数学定律创造了宇宙和地球。”

建立在欧几里德《几何原本》基础上的实用数学和三角几何，使得人们对自然的研究有了飞跃。在书中例举了希帕霍斯有关测量地球半径的例子。我知道，地球是圆的，而且从资料中得知地球的半径很长，赤道一圈有4万千米，但地球的半径是多少从没有想过。看过书之后我才恍然大悟，原来如此简单：

测量地球半径的过程可以概述如下：我们爬上一座山，比如说山有3英里高，然后向地平线望去，随即用能操纵的仪器测量视线和垂直线之间的夹角（如左图角CAB），测得这个角为87°46′。利用这一测量值，依图示着手计算。此处r是地球的半径。图中半径BC垂直于视线AC，因为AC与地球表面相切，根据欧式几何中的一条定理，过切线切点的圆的半径垂直于该切线。按照希帕霍斯的方法，来看看所测量到的角度的对边与直角三角形斜边之比。用图中的符号表示，这个比就是       也就是sinA，即sin87°46′，因此sin87°46′= 。由于希帕霍斯已经计算出了正弦（比值），知道sin87°46′精确到小数点后5位其值是0.99924，因此我们有0.99924=

利用大家在中学已经掌握的非常简单的代数知识很容易解出这个关于r的方程，得出地球半径r为3944英里。如果从这个角度在测量时精确到秒，那么得出的地球半径将更加精确。利用类似的原理，希帕霍斯还研究出了地球中心到月亮中心的距离大约是238000英里。（节选自第五章“天体测量”p70-71页）

再比如，哥白尼的日心说、帕斯卡的三角几何、笛卡尔的代数思想、伽利略的物理学研究、牛顿的运动定律和万有引力对科学、哲学、宗教、文学、美学的重大影响、麦克斯韦的电磁波等等，在阅读中都有了全面的认识。由于自己在人物名、历史年代等方面属于先天性的“记忆弱势”，因此，在阅读中，不停的批划，前后反复的对照，使自己对全书内容的阅读做到了读懂、读熟。必要的时候，自己还在书眉页脚用漫画的形式来表达自己的即兴思考。
    

2．读透。

“读书不求全懂”，只要有一点收获或启示就行。这是我平时阅读的自然心态。但在阅读《西方文化中的数学》过程中，随着阅读的展开，我不断将自己原有的储存和理解与文本进行对话。在对话中，力求能理解、消化和吸收，形成自己的对数学的辨证认识：

比如，数学的冷与美。

数学在大众心里到底是怎样一幅模样？不用调查，我估计大部分人的回答肯定是与逻辑推理、思维训练、解题技巧、枯燥乏味等挂钩。韩国数学教育家---裴钟秀在《我的数学有生命》里谈到“小四、中二、高一、高二公式”，指的是从小学四年级开始，一个接一个放弃了数学，到了高中二年级的时候，几乎没有人学习数学了。在我国呢？有人曾经对8位在国际数学奥林匹克竞赛中获奖的学生做过调查，这些在我们看来在数学上取得很好成绩的人，最后是什么结果呢？据说，8个里面有5个改行，2个疯掉了。他们也是越学越怕，数学在人们心里的糟糕程度可想而知！

其实，数学的冷峻或许正是由于我们将其从文化、从历史的丰富背景中剥离出来的缘故。在《西方文化中的数学》一书中，数学的神奇魅力是那样的让人折服。唯一的一个时期（中世纪罗马统治时期），由于基督教会和神学的糟蹋，数学出现了停滞。人们对数学的认识一下子跌到了低谷：

基督徒应该提防数学家和那些空头许诺的人。这样的危险已经存在，数学家们已经与魔鬼签订了协约，要使精神进入黑暗，把人投入地狱。---圣奥古斯丁

对于作恶者、数学家、诸如此类的人应禁止他们学习几何技艺和参加当众运算像数学这样可恶的学问。---古罗马法官

算术是最低级的精神活动。---叔本华

但数学的美丽终究是熠熠发光的。它的理性精神、它对自然和社会高度凝练的原理法则，总是让我们看到数学的巨大力量。罗素，这位抽象数学思想的大师曾直言不讳地说：

数学，如果正确地看它，则具有至高无上的美---正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识---这些是至高至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。

可见，数学理性的冷恰恰是它最具内涵的美。

比如，数学的真与伪。

掷铁饼者是古希腊雕塑的代表作，也是我们在各种美术鉴赏书上都能看到“杰作”。但这样的一副不朽的作品，我们从美术的角度一直不知道如何来解读。都将其看做如同我国的《清明上河图》一样视为经典。可克莱因却从数学文化的角度来给我们进行了一次全新的解读——批判性的解读。雕塑刻画了一位运动员手握铁饼、蓄势待发，而面部表情却非常冷静，就像在思考问题。是不是让人很纳闷？一位正在比赛的运动员面部为什么如此冷静？其实，这些艺术作品都受当时的人们审美观念的影响。在那个时代，人们认为人思考时是最美的，而这种观念之所以称为主流意识，恰恰是希腊人在哲学和数学上偏爱抽象和理想化的影响！（p32页）

我一直认为数学是真理的化身，数学的公理、定理、论断是那样的严谨和周密。然而，本书有力地证明了“数学自命为真理的态度已经是必须抛弃了”。

例：自欧氏几何创立的两千年中，哲学家们一致认为，欧几里得的公设就是真理，是可以明确知道的东西。这两千年里，人们一直想通过前四条公设证明第五条，但是都没有成功。到了19世纪，数学家们开始从反面入手，假设第五条公设不成立，用不与第五条公设相容的公设代替它，推演下去，居然没有矛盾——意味着诞生了新的几何体系，这就是“非欧几何”。

罗氏非欧几何认为过直线外一点可以作无穷条平行线，三角形内角和小于两直角，相似三角形必全等，圆周率大于π等等。

黎曼几何里不存在平行线，直线不能无限延长，三角形内角和大于两直角，圆周率小于π等等。

欧氏几何、非欧几何至少是部分地互相矛盾，但居然都能用来描述物理空间，人们真不知道对于物理空间来说，究竟哪一种是真实的。一向宣称是描述数量和空间真理的数学，现在怎么出现了几种相互矛盾的几何学呢？这样就迫使人们不能不承认这样的事实：所有的几何学都可能是一种假设。

数学丧失了确定性与真理性，但没有降低数学的作用，而是在某种程度上给数学发展注入了活力。（第二十六章 新几何，新世界）

再比如，数学的形与神。

你相信历史上出现过艺术家被邀请去解决炮兵部队中炮弹的运行问题吗？你相信历史上曾出现许多艺术家都纷纷转向数学吗……这些都发生在文艺复兴时期。他们满脑子充满了这样的信念：数学是真实的现实世界的本质，宇宙是有秩序的，而且按照几何方式明确地理性化。于是，像希腊哲学家一样，他们认为要透过现象认识本质，即他们需要在画布上真实地展示其题材的现实性，他们最后所要解决的问题就不定归结到与一定的数学内容相关。但回过头来看，数学是超越一切的绝对理性吗吗？我看未必！数学精神和数学论断的时代性还是很值得研究的。

在小学课堂中，教学“圆的认识”，不少老师都可能会引用古希腊毕达哥拉斯学派的名言“一切平面图形中，圆是最美的。”从表面看来，这句话具有很强的绝对性和排他性。也就是说，但是要真正的把握它的内涵，还有必要将其投放到当时的历史背景中去看。

古希腊哲学家都是天文迷。他们研究天空，以探求宇宙的种种神秘现象。在所有形状中，希腊人通过粗略地观察太阳、月亮、行星，一致认为圆和球应该受到高度重视。于是，关于球和圆还有一种说法就是“一切平面图形中最美的是圆形，一切立体圆形中最美的是球形。”我们很多人在引用这样的表述时，可能都不会考虑这样的背景。事实上，基于当时的数学发展和历史现状来看这句话，我们对它的认识会更为深刻。

3．读有所悟。

在阅读《西方文化中的数学》过程中，我也一直在关注我自己的研究方向“简约教学”的话题。力求在阅读中能够找到与自己研究有关的论断和思想，能从历史文化的角度来。应该说还是有所收获的。虽然全身没有出现“简约”这一词语，但还是有不少亮点可寻的。

从数学的发生、发展来看，追求数学理性精神和用数学的方式来表达世界上的各种关系（物质的、精神的、科学的、人文的，等等）的过程，其实就是一个对世界认识不断删繁就简的过程。

希腊时代以前所存在的数学，都以经验的积累为其特征，数学公式由经验积累而成，很像我们今天医学中的实验和治疗。（p24页）以前，数学只不过是推动其他领域进步的工具，随着几何学美妙结构和精美推理的发展，数学变成了一门艺术。（p54）

数学风格以简洁和形式的完美作为目标（p7页）。也正是因为这种简洁和美使得人们不断向着自然科学、人文科学、社会科学、大众哲学等领域的纵深前进——寻求最简洁的公理和法则。社会也因此得以进步。

当然，全书所讲述的科学家们的探索精神更是让我深受鼓舞。“简约教学”研究已经进行了两年了，虽然有了不少成果，但颇为苦恼的是，似乎已经进入了一个高原，难进行新的突破。此时，创造性的精神和不断的追思、实践是非常难得的。

《西方文化中的数学》有这样一段话：

在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。（p9页）。

用理性和开拓的精神来统领我的“简约教学”，是我的必由选择。