整除的特征

1、能被2整除的数：个位数能被2整除，则这个数就能被2整除。如个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

2、每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

    假设原数为：a......bcde，是n位数，n>1。

    已知：3|(a+......+b+c+d+e)

          则3|[(99......99a+......+999b+99c+9d)+(a+......+b+c+d+e)]

          则3|[(99......99+1)a+......+(999+1)b+(99+1)c+(9+1)d+e]

          则3|[100......00a+......+1000b+100c+10d+e]

          则3|a......bcde证讫。

3、最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

4、个位上是0或5的数都能被5整除。

5、一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

6、把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

  证明1：假设末位数是b，截去末位数后剩下的数是a，那么，这个数就是N=10*a+b

        已知：7|（a-2b）

             则：7|（10(a-2b））

             即：7|（10a-20b）

             即：7|（10a+b-21b）

             则：7|（10a+b-21b+21b）

             则：7|（10a+b）证讫。

 

证明2：假设末三位数是b，截去末三位数后剩下的数是a，那么，这个数就是N=1000*a+b

        已知：7|（a-b）

             则：7|1000(a-b)

             即：7|（1000a-1000b）

             即：7|（1000a+b-1001b）     （因为7|1001，事实上，1001=7*11*13）

             则：7|（1000a+b-1001b+1001b）

             则：7|（1000a+b）证讫。

7、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

证明：假设末三位数是b，截去末三位数后剩下的数是a，那么，这个数就是N=1000*a+b

        已知：8|b

             则：8|1000a+b       （因为8|1000）证讫。
8、每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

假设原数为：a......bcde，是n位数，n>1。

    已知：9|(a+......+b+c+d+e)

          则9|[(99......99a+......+999b+99c+9d)+(a+......+b+c+d+e)]

          则9|[(99......99+1)a+......+(999+1)b+(99+1)c+(9+1)d+e]

          则9|[100......00a+......+1000b+100c+10d+e]

          则9|a......bcde证讫。

9、若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

10、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差值能被11整除，则这个数能被11整除。另外1，把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。另外2，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除.

    证明1：假设原数为：a......lmnopq，是n位数，n>1。

    已知：11|(......-l+m-n+o-p+q)

          则11|[(......+100001l+9999m+1001n+99o+11P)+(......-l+m-n+o-p+q)]

          则11|[......(100001-1)l+(9999+1)m+(1001-1)n+(99+1)o+(11-1)P+q]

          则11|[100......00a+100......00b+......+100o+10P+q]

          则11|abc......pq证讫。

         注：下面的数是11的倍数：

              1、99，9999，999999，99999999,9999999999......类的数是11的倍数。

              2、11，1001，100001，10000001,1000000001......类的数是11的倍数。

        证明2： 假设末位数是b，截去末位数后剩下的数是a，那么，这个数就是N=10*a+b

        已知：11|（a-b）

             则：11|10(a-b)

             即：11|（10a-10b）

             即：11|（10a+b-11b）

             则：11|（10a+b-11b+11b）

             则：11|（10a+b）证讫。

证明3：假设末三位数是b，截去末三位数后剩下的数是a，那么，这个数就是N=1000*a+b

        已知：11|（a-b）

             则：11|1000(a-b)

             即：11|（1000a-1000b）

             即：11|（1000a+b-1001b）     

             则：11|（1000a+b-1001b+1001b）    （因为11|1001）

             则：11|（1000a+b）证讫。

11、若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

12、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是13的倍数，则原数能被13整除.

 证明1：假设末位数是b，截去末位数后剩下的数是a，那么，这个数就是N=10*a+b

        已知：13|（a+4b）

             则：13|10(a+4b)

             即：13|（10a+40b）

             即：13|（10a+b+39b）

             则：13|（10a+b+39b-39b）

             则：13|（10a+b）证讫。

证明2：假设末三位数是b，截去末三位数后剩下的数是a，那么，这个数就是N=1000*a+b

        已知：13|（a-b）

             则：13|1000(a-b)

             即：13|（1000a-1000b）

             即：13|（1000a+b-1001b）     

             则：13|（1000a+b-1001b+1001b）    （因为13|1001）

             则：13|（1000a+b）证讫。

13、若一个整数能被2和7整除，则这个数能被14整除。

14、若一个整数能被3和5整除，则这个数能被15整除。

15、若一个整数的末位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

      证明 假设末位数是b，截去末位数后剩下的数是a，那么，这个数就是N=10*a+b

           已知：17|（a-5b）

             则：17|10(a-5b)

             即：17|（10a-50b）

             即：17|（10a+b-51b）

             则：17|（10a+b-51b+51b）

             则：17|（10a+b）证讫。

16、若一个整数能被2和9整除，则这个数能被18整除。

17、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

假设末位数是b，截去末位数后剩下的数是a，那么，这个数就是N=10*a+b

        已知：19|（a+2b）

             则：19|10(a+2b)

             即：19|（10a+20b）

             即：19|（10a+b+19b）

             则：19|（10a+b+19b-19b）

             则：19|（10a+b）证讫。