基础数学的代表：数论与数理逻辑

   当前已经进入二十一世纪，谈论基础数学而不涉及数学公理系统及其应用，荒谬至极。

   国内数学守旧派

整天守着自己的一一亩三分地（老古董极限微积分），从来不提基础数学的公理化，不知他们如何应对国家4部委联合下发《关于加强数学科学研究工作方案》的通知？

   为什么说“基础数学的代表：数论与数理逻辑”？有何根据？请见本文附件。

注：《方案》的第一条款是“　一、持续稳定支持基础数学科学”，清楚地表明了国家支持基础数学科学研究的意志。

袁萌  陈启清  8月20日

附件：

纯粹数学

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一般而言，纯粹数学是一门专门研究数学本身，不以应用为目的的学问（至少可见范围内无法应用），相对于应用数学而言。纯粹数学以其严格、抽象和美丽著称。自18世纪以来，纯粹数学成为数学研究的一个特定种类，并随着探险、天文学、物理学、工程学等的发展而发展。

纯粹数学以数论，数理逻辑为其代表。

目录

1 历史

1.1 19世纪

1.2 20世纪

2 一般化与抽象

3 纯粹主义

4 参考

历史

19世纪

“纯粹数学”这个词是从Sadleirian Chair这个19世纪中期建立的教授职位的全名而来的。“纯粹”数学作为一门独立的学科的想法可能就是从那个时候发展起来的。高斯一代的数学家没有彻底地区分过“纯粹”和“应用”。之后，专门化和专业化，特别是魏尔施特拉斯研究数学分析的方法，使得两者的区别越来越大。

20世纪

进入20世纪，数学家们受到希尔伯特的影响，开始使用公理系统。罗素提出了“纯粹数学”的逻辑公式化方法，以量化的命题为形式。随着数学的公理化，这些公式变得越来越抽象，“严格证明”成为了简单的标准。

实际上在公理系统中，“严格”在“证明”中没有任何新意。以布尔巴基小组的观点，纯粹数学就是已经被证明了的公理。纯粹数学家成为普遍接受的职业，可以通过训练而取得。

一般化与抽象

纯粹数学的一个核心思想就是一般化，它常常有一种更加一般化的趋势。

将定理或数学结构一般化能使对其理解更深

一般化能够简化表达，使证明更短

利用一般化可避免重复证明

一般化可为不同数学分支的联系带来便利。范畴论即是探索这种关联和共性的一个数学领域。

纯粹主义

关于纯粹数学和应用数学，数学家们总有不同的见解。有人认为，最有名的现代例子莫过于戈弗雷·哈罗德·哈代的一个数学家的辩白。

通常认为，哈代认为应用数学非常丑陋和枯燥。哈代偏爱纯粹数学，常把纯粹数学跟画和诗相提并论。他认为应用数学只不过是在数学框架内寻求世界的物理原理，而纯粹数学则表达了独立于物理世界的另一种真实。在他眼中，“真实”数学“具有永恒的美学价值”，而“数学的基本和枯燥的部分”拥有实用价值。