为了数学的明天，，穿越时空，重返南大（II）

今年7月，国家4部委联合下发《关于加强数学科学研究工作方案》的重要通知，说明国家决定专项财政拨款资助基础数学研究，希尔伯特计划并不除外。此举，在世界范围内，开创了国家（级）专项资助基础数学研究之先河。

    为了数学的明天，，穿越时空，重返南大。记得，在数学分析的课堂上，何旭初先生教导我们：极限定义需要阿基米德公理的支持，因为实数系统是阿基米德有序域。

   过了两年，1960年，鲁宾逊证明事实并非如此，非阿基米德无穷小微积分成立，因为，超实数系统是非阿基米德有序域。

回到现在，希尔伯特与哥德尔关于数学形式化（公理化）的研究成果，将世界数学研究推进到一个本质上全新的高度。我们要顺应历史发展潮流（比如超实数方向），不做数守旧派。

袁萌   陈启清  8月15日

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阿基米德公理

在抽象代数和分析学中，以古希腊数学家阿基米德命名的阿基米德公理（又称阿基米德性质），是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质。粗略地讲，它是指没有无穷大或无穷小的元素的性质。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奥地利数学家Otto Stolz赋予它这个名字[1]。

这个概念源于古希腊对量的理论；如大卫·希尔伯特的几何公理，有序群、有序域和局部域的理论在现代数学中仍然起着重要的作用。

阿基米德公理可表述为如下的现代记法： 对于任何实数

x，存在自然数n  

有n > x 。

在现代实分析中，这不是一个公理。它退却为实数具完备性的结果。基于这理由，常以阿基米德性质的叫法取而代之。

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目录

1 形式叙述以及证明

1.1 解释

1.2 与实数的完备性的关系

2 参看

形式叙述以及证明

解释

简单地说，阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句：

给出任何数，你总能够挑选出一个整数大过原来的数。

给出任何正数，你总能够挑选出一个整数其倒数小过原来的数。

这等价于说，对于任何正实数a 。b ，如果

a < b

，则存在自然数

n ，有

a + + a n  terms > b {\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ terms}}}>b}

与实数的完备性的关系

实数的完备性蕴含了阿基米德性，证明利用了反证法：

假设对所有

n  

，

n a < b

（注意

n a  

表示

n  

个a  

相加），令

S = { n a | n = 1 , 2 , 3 , . . . }  

，则

b  

为

S  

的上界（

S  

上方有界，依实数完备性，必存在最小上界，令其为

α  

），于是

∀ n = 1 , 2 , 3 , . . . {\displaystyle \forall n=1,2,3,...}

有

n a < α ⇒ ( n + 1 ) a < α ⇒ n a < α − a {\displaystyle na<\alpha \Rightarrow (\Rightarrow na<</span>

得出

α − a

也是

S {\displaystyle S}

的一个上界，这与

α {\displaystyle \alpha }

是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质，但阿基米德性推不出实数的完备性，因为有理数满足阿基米德性，但并不是完备的。